14. ত্রিভুজের ধর্ম

আয়েষা স্কেল ও পেনসিল দিয়ে অনেকগুলি ত্রিভুজ আঁকল। হিমু ওই ত্রিভুজাকারক্ষেত্রগুলি কাঁচি দিয়ে কেটে ফেলল।

দেখছি, প্রতিটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ______ টি। প্রতিটি ত্রিভুজের বাহু ______ টি। প্রতিটি ত্রিভুজের কোণ ______ টি।

আমি একটি ত্রিভুজাকারক্ষেত্র নিলাম ও ভাঁজ করে প্রতিটি বাহুর মধ্যবিন্দু খুঁজি।

ত্রিভুজাকারক্ষেত্রটির BC বাহুকে ভাঁজ করে B বিন্দুকে C বিন্দুতে মিলিয়ে BC বাহুর মধ্যবিন্দু D পেলাম।

আমি যদি A শীর্ষবিন্দু ও D মধ্যবিন্দু বরাবর ভাঁজ করে খুলে দিই কি পাব দেখি।

AD সরলরেখাংশ, ABC ত্রিভুজের মধ্যমা। অর্থাৎ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ও বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ হলো ত্রিভুজটির মধ্যমা।

আমি কাগজ ভাঁজ করে AC বাহুর মধ্যবিন্দু E ও বিপরীত শীর্ষবিন্দু ______ যোগ করে মধ্যমা তৈরি করি।

আবার আমি কাগজ ভাঁজ করে ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু খুঁজে তৃতীয় মধ্যমা তৈরি করি ও দেখি ABC ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি একটি বিন্দুতে মিলিত হয় কিনা।

অর্থাৎ, মধ্যমা তিনটি ______

নিজে করি- 14.1

সমবাহু, সমদ্বিবাহু ও বিষমবাহু ত্রিভুজাকারক্ষেত্র কেটে নিয়ে একই ভাবে ভাঁজ করে মধ্যমা তিনটি তৈরি করি এবং প্রতিটি ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি কী রকম লক্ষ্য করি।

সাকির আয়েসার মতো একটি ত্রিভুজ আঁকল ও কাগজ ভাঁজ না করে শুধুমাত্র কম্পাস ও স্কেলের সাহায্যে ওই ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর মধ্যবিন্দু খুঁজে বার করার চেষ্টা করল।

1. পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে ABC ত্রিভুজের BC বাহুর মধ্যবিন্দু বের করি

(i) প্রথমে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে ABC ত্রিভুজের BC বাহুর B বিন্দুকে ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে BC বাহুর দৈঘ্যের অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে BC বাহুর উপরে ও নীচে দুটি করে বৃত্তচাপ আঁকলাম যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। (ii) P ও Q বিন্দু দুটি যোগ করলাম। PQ, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করল। BC-এর মধ্যবিন্দু পেলাম D। (iii) A ও D বিন্দু দুটি যোগ করে ABC ত্রিভুজের একটি মধ্যমা পেলাম। একইভাবে স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে অপর দুটি মধ্যমা BE ও CF আঁকি।

একটি ত্রিভুজের ______ মধ্যমা পেলাম। দেখছি মধ্যমা তিনটি ______

সুচেতা কোণভেদে তিনটি ত্রিভুজ আঁকল। ত্রিভুজ তিনটি সূক্ষ্মকোণী, সমকোণী ও স্থূলকোণী।

এই তিনটি ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি আঁকি ও দেখি এরা সমবিন্দু কিনা। [ নিজে করি ]

আমরা অনেকগুলি রঙিন কাগজ দিয়ে ত্রিভুজাকারক্ষেত্র তৈরি করেছি ও সেগুলি কেটে আলাদা করে রেখেছি। এবার ঠিক করেছি ওই রঙিন ত্রিভুজাকারক্ষেত্রগুলি একটি বড়ো সাদা পিচবোর্ডে আটকাব।

প্রতিটি ত্রিভুজ আটকানোর জন্য আলাদা আলাদা আয়তাকার জায়গা রাখা হবে। কিন্তু প্রতিটি ত্রিভুজাকারক্ষেত্রর জন্য কতটা আয়তকারক্ষেত্র রাখব? কিভাবে পাব?

প্রতিটি ত্রিভুজের উচ্চতা মাপতে হবে অর্থাৎ প্রতিটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর লম্ব দূরত্ব মাপতে হবে।

প্রথমে প্রতিটি কাগজের ত্রিভুজাকারক্ষেত্রকে A শীর্ষবিন্দু বরাবর এমনভাবে ভাঁজ করা হলো যাতে ভাঁজের দুই পাশে BC -এর দিকে দুইটি ধার একই সরলরেখাংশে থাকে। এইভাবে উচ্চতা পাবার চেষ্টা করি।

কিন্তু আয়েসা ঠিকমতো ভাঁজ না করায় পেল

স্কেলের সাহায্যে মেপে দেখল AD -এর দৈর্ঘ্য সবচেয়ে কম। চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখলাম $ZADC = 90^ ext{o}$

.:. AD হলো ABC ত্রিভুজের উচ্চতা যা A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্ব।

এভাবে ABC ত্রিভুজের ______ টি উচ্চতা পেলাম। বাহুভেদে ত্রিভুজগুলি আঁকি।

ত্রিভুজাকারক্ষেত্রগুলি কাঁচি দিয়ে কেটে কাগজ ভাঁজ করে প্রতিটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর লম্ব তিনটি সমবিন্দু কিনা দেখি।

আমরা কোণভেদে ও বাহুভেদে অনেক ত্রিভুজ এঁকে ত্রিভুজাকারক্ষেত্রগুলি কাঁচি দিয়ে কেটে ফেলেছি। এগুলি ওই সাদা পিচবোর্ডে আটকানোর জন্য ফাঁকা আয়তাকার জায়গা রাখব, তাই প্রতিটি ত্রিভুজের উচ্চতা স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে বের করার চেষ্টা করি।

2. প্রথমে পাশের ত্রিভুজটির স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে উচ্চতা বের করি।

A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর লম্ব আঁকব অর্থাৎ BC বাহুর বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে BC বাহুর উপর লম্ব আঁকব।

(i) প্রথমে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে A বিন্দুকে কেন্দ্র করে এমন একটি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ আঁকলাম যাতে বৃত্তচাপটি BC বাহুকে P ও Q দুটি বিন্দুতে ছেদ করে। (ii) এবার পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে BC বাহুর যে দিকে A বিন্দু আছে তার বিপরীত পাশে P ও Q বিন্দুকে কেন্দ্র করে PQ-এর দৈর্ঘ্যের অর্ধেকের বেশি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের আরও দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যারা পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করল। স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে A ও R বিন্দু দুটি যোগ করলাম। AR, BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করল।

AD হল ABC ত্রিভুজের উচ্চতা যা A শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহু BC -এর উপর লম্ব

নিজে করি- 14.2

1. একটা ত্রিভুজের কতগুলি উচ্চতা পাব নিজে এঁকে দেখি।

2. একইভাবে স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে বাহুভেদে ও কোণভেদে ত্রিভুজের উচ্চতাগুলি পাবার চেষ্টা করি।

এদের মধ্যে i) কোন ত্রিভুজের উচ্চতা সেই ত্রিভুজের একটি বাহু হবে এঁকে দেখি। ii) কোন ত্রিভুজের একটি উচ্চতা ও মধ্যমা একই সরল রেখাংশ পাব এঁকে দেখি।

সবাই যখন নানা রঙের ত্রিভুজাকারক্ষেত্র কাটছি, ফিরোজ তখন একটি ছক কাগজ তৈরি করে ফেলল। মিলি তার নিজের আঁকা ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র ছক কাগজের উপরে পাশের ছবির মতো রাখল এবং তার চারপাশে পেনসিল দিয়ে দাগ দিল।

ধরি ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 সেমি.।

.. ছক কাগজের প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গাকারক্ষেত্র = 1 বর্গসেমি.।

ছবিতে দেখছি দুটি একই মাপের অর্থাৎ PQR ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের সমান করে PSR ত্রিভুজাকারক্ষেত্র কাটা। সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্র PQR ও PSR পাশাপাশি অতিভুজ বরাবর মিলে একটি আয়তক্ষেত্র PQRS তৈরি করেছে যার দৈর্ঘ্য 6 সেমি. এবং প্রস্থ 4 সেমি.।

কিন্তু 1 নং ত্রিভুজাকারক্ষেত্র বা APQR এর উচ্চতা = 4 সেমি. [ ভূমি যখনQR বাহু] 1 নং ত্রিভুজাকারক্ষেত্র বা APQR এর ভূমি = 6 সেমি. (QR বাহু) 2 নং ত্রিভুজাকারক্ষেত্র বা ∆PSR এর উচ্চতা = 4 সেমি. (SR বাহু) [ভূমি যখন PS বাহ] 2 নং ত্রিভুজাকারক্ষেত্র বা APSR এর ভূমি = 6 সেমি. (SP বাহু)

.. $PQR \text{ ত্রিভুজাকৃতিক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল } = PSR \text{ ত্রিভুজাকৃতিক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল } = \frac{1}{2} PQRS \text{ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।}$

PQRS আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $QR \times PQ$ = ভূমি $\times$ উচ্চতা PQR ত্রিভুজাকৃতিক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা।

$= \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \text{ বর্গসেমি. } = 12 \text{ বর্গসেমি. }$

ছক কাগজ থেকে দেখছি, △PQR এর ক্ষেত্রফল = 12 বর্গসেমি. (প্রায়) [10 টি সম্পূর্ণ ঘর, 2 টি অর্ধেকের বেশি বর্গঘর ও ২ টি অর্ধেকের কম বর্গঘর জুড়ে আছে]।

.. ত্রিভুজাকৃতিক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল উচ্চতা ও ভূমির দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে।

আমি 3 নং ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রে অর্থাৎ ABC ত্রিভুজাকৃতিক্ষেত্রের ভূমি ও উচ্চতা মাপি।

△ABC এর ভূমি BC = 6 সেমি.। উচ্চতা AD = ______ সেমি.।

.. $\triangle ABC \text{ এর ক্ষেত্রফল } = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

$= \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \text{ বর্গসেমি. } = 9 \text{ বর্গসেমি. }$

ছক কাগজের ঘর গুনে পাই, △ABC-এর ক্ষেত্রফল = 9 বর্গসেমি.। [6 টি সম্পূর্ণ বর্গঘর ও 6 টি অর্ধেক বর্গঘর]

4 নং ত্রিভুজাকৃতিক্ষেত্রের অর্থাৎ XYZ ত্রিভুজাকৃতিক্ষেত্রের ভূমি (YZ) = ______ সেমি. এবং XYZ ত্রিভুজাকৃতিক্ষেত্রের উচ্চতা (XM) = ______ সেমি.

.. $XYZ \text{ ত্রিভুজাকৃতিক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল } = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

$= \frac{1}{2} \times \_\_ \times 3 \text{ বর্গসেমি. } = 6 \text{ বর্গসেমি. }$

ছককাগজে ঘর গুনে পাই, XYZ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 6 বর্গসেমি. (প্রায়)।

কারণ ∆XYZ -এ ও টি সম্পূর্ণ বর্গ, 1 টি অর্ধেকের বেশি বর্গ, 4 টি অর্ধেকের কম বর্গ ও ২ টি অর্ধেক বর্গ ঘর জুড়ে আছে।

... XYZ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলও প্রায় 6 বর্গসেমি. এর সমান পেলাম।

নীচের ছককাগজে ঘর গুনে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত দেখি এবং ত্রিভুজগুলির ভূমি ও উচ্চতা মাপি এবং $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$ -এর মান নির্ণয় করে দেখি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল উভয় ক্ষেত্রে সমান হচ্ছে কিনা।

কষে দেখি-14

1. (i) একটি ত্রিভুজের কতগুলি মধ্যমা পাব লিখি। (ii) একটি ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে লিখি। (iii) একটি ত্রিভুজে কতগুলি উচ্চতা পাব লিখি। (iv) একটি ত্রিভুজের উচ্চতাগুলি কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে লিখি। (v) কোন ত্রিভুজের প্রতিটি উচ্চতা ও মধ্যমা একই তা লিখি।
2. কোণভেদে ও বাহুভেদে ত্রিভুজ আঁকি ও তাদের মধ্যমা এঁকে দেখি ত্রিভুজের মধ্যমা সর্বদা ত্রিভুজের ভিতরে থাকে কিনা (স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্য নিই)।
3. নীচের প্রতিটি ত্রিভুজের উচ্চতা মাপি (স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্য নিই)।

4. কোণভেদে ত্রিভুজ আঁকি। ত্রিভুজের প্রতিটি উচ্চতা সবর্দাই ত্রিভুজের ভিতরে থাকবে কিনা দেখি। (স্কেল ও পেনসিলের কম্পাসের সাহায্য নিই)