4. পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

সংখ্যারেখায় স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা ও অখণ্ড সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি :

1️⃣ ঠিক আগের ও পরের পূর্ণসংখ্যা লিখি :

ঠিক আগের পূর্ণসংখ্যা	মাঝের পূর্ণসংখ্যা	ঠিক পরের পূর্ণসংখ্যা
4	5	6
	1
	0
	-3
	-6
	-16

নিজে করি-4.1

(i) সংখ্যারেখায় দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করতে হলে প্রথম সংখ্যার স্থান থেকে আরও $\square$ দিকে যেতে হয়। (ii) সংখ্যারেখায় দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করতে হলে প্রথম সংখ্যার স্থান থেকে আরও $\square$ দিকে যেতে হয়। (iii) সংখ্যারেখায় দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করতে হলে প্রথম সংখ্যার স্থান থেকে $\square$ দিকে যেতে হয়। (iv) সংখ্যারেখায় দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বিয়োগ করতে হলে প্রথম সংখ্যার স্থান থেকে $\square$ দিকে যেতে হয়।

2️⃣ নীচের ছক পূরণ করি :

পূর্ণসংখ্যা	বিপরীত পূর্ণসংখ্যা
5	-5
2	$\square$
-6	$\square$
6	$\square$
11	$\square$

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

আজ ছোটু ও মানাই ঠিক করেছে, ওরা দুজনে সিঁড়িতে ওঠা নামা করে বিভিন্ন সংখ্যার মজা তৈরি করবে। প্রথমে ছোটু উঠবে ও মানাই হিসাব করবে। সংখ্যা গোনার আগে তারা সিঁড়ির গায়ে সংখ্যা লিখে দিল। ছোটু 0 দাগের সিঁড়িতে দাঁড়িয়ে ছিল। ছোটু প্রথমে 2 ধাপ উপরে উঠল। $0 + (+2) = + 2$ ছোটু এখন +2 নম্বর সিঁড়িতে আছে। 2 স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বা অখণ্ড সংখ্যা। এবার ছোটু 3 ধাপ নীচে নেমে এল। ছোটু (-3) ধাপ উঠল। ছোটু এখন ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা নম্বরের সিঁড়িতে দাঁড়িয়ে আছে। $(+2) +(-3) = -1$ ছোটু –1 নম্বর সিঁড়িতে এল। ছোটু এখন আর কত ঘর গেলে – 5 নম্বর সিঁড়িতে পৌঁছোবে দেখি। $(-5) - (-1) = - 5+1 = -4$ ছোটু -4 ঘর উঠবে অর্থাৎ 4 ঘর নামবে। এবার $\square$ ঘর উঠলে ছোটু আবার 0 দাগের সিঁড়িতে আসবে।

3️⃣ ছোটুর ওঠানামা নীচের ছকে পূরণ করি –

প্রক্রিয়া	শুরু	$+(+2)$	$+(-3)$	$-(+4)$	$+(+2)$	$+(-6)$	$-(-12)$
উত্তর	0	$\square$	-1	-5	0	-12	-8
উত্তর সংখ্যার প্রকৃতি	পূর্ণসংখ্যা বা পূর্ণ সংখ্যা	স্বাভাবিক সংখ্যা বা অখণ্ড সংখ্যা	ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা	পূর্ণ সংখ্যা	স্বাভাবিক সংখ্যা বা অখণ্ড সংখ্যা	ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা	পূর্ণ সংখ্যা

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা ও অখণ্ড সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক পেলাম

4️⃣ এবার আমরা নিজেরা মানাই-এর সিঁড়িতে ওঠানামার ছক পূরণ করি –

প্রক্রিয়া	শুরু	$+(−5)$	$+(−3)$	$+(+3)$	$+(+7)$	$−(−4)$	$+(−13)$	$−(+5)$	$−(+7)$
উত্তর	+3	$\square$	$\square$	$\square$	$\square$	$(-2)$	$(+5)$	$+9$	$-9$
উত্তর সংখ্যার প্রকৃতি	স্বাভাবিক সংখ্যা বা পূর্ণ সংখ্যা বা অখণ্ড সংখ্যা	$\square$	$\square$	$\square$	$\square$	$\square$	$\square$	$\square$	$\square$

মানাই-এর ছক থেকে নিচের ঘরে ($≠$ বা $=$) চিহ্ন বসাই –

$(+3) + (-5) \square (-5) + (+3)$

$(+4) - (-4) \square (-4) - (+4)$

.. পূর্ণসংখ্যার যোগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ $\square$ নিয়ম মেনে চলে না।

.. a ও b যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a + b = b + a$ কিন্তু $a - b \ne b - a$

হাতেকলমে

পিচবোর্ডের স্কেল তৈরি করি ও সংখ্যারেখায় যোগ বিয়োগ করি –

প্রধান স্কেল

স্লাইড স্কেল

পিচবোর্ড ও সাদা আর্ট পেপার দিয়ে উপরের মতো দুটি স্কেল তৈরি করলাম। প্রথম স্কেলের নাম দিলাম প্রধান স্কেল। দ্বিতীয় স্কেলের নাম দিলাম স্লাইড স্কেল।

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

5️⃣ দুটি স্কেলের সাহায্যে (ⅰ) $(+2)+(+3)$, (ii) $(-1) + (-2)$, (iii) $- 2 - (-4)$ নির্ণয় করি।

(i) প্রধান স্কেলের $(+2)$-এ স্লাইড স্কেলের 0 দাগ মিলিয়ে দেখব স্লাইড স্কেলের $(+3)$ প্রধান স্কেলের যে দাগের সঙ্গে মিশে যাবে সেই দাগের মানই $(+2) + (+3)$-এর মান নির্দেশ করবে।

প্রধান স্কেল

স্লাইড স্কেল

দুটি স্কেল থেকে পাচ্ছি, $(+2) + (+3) = +5$

(ii) আগের মতো প্রধান স্কেলের $(-1)$ -এ স্লাইড স্কেলের 0 দাগ মিলিয়ে স্লাইড স্কেলের $(-2)$ দাগ প্রধান স্কেলের যে দাগের সঙ্গে মিলে যাবে সেই দাগের মানই $(-1) + (-2)$ -এর মান নির্দেশ করবে।

প্রধান স্কেল

স্লাইড স্কেল

দুটি স্কেল থেকে পাচ্ছি, $(-1) + (-2) = (-3)$

(iii) $- 4$-এর বিপরীত $+ 4$ অর্থাৎ $- (- 4) = + 4$ .. দুটি স্কেল থেকে পাচ্ছি, $- 2 - (-4) = (-2) + (+4) = \square$

প্রধান স্কেল

স্লাইড স্কেল

হাতেকলমে দুটি পিচবোর্ডের স্কেলের সাহায্যে মান নির্ণয় করি।

(i) $(+ 4) + (+8)$ (ii) $(-9) + (+6)$ (iii) $(-6) + (-2)$ (iv) $(+8) - (-2)$ (v) $(-8) - (-2)$

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

6️⃣ এবার সংখ্যারেখায় যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যার যোগ করে তাদের সাধারণ নিয়ম খুঁজি:

সংখ্যারেখার সাহায্যে ${(+2) + (-4)} + (-8)$-এর মান নির্ণয় করি।

${{(+2) + (-4)}} + (-8) = (-2) + (-8) = -10$

কিন্তু যদি এমন হয় $(+2) + {(-4) + (-8)}$ তবে কী পাই দেখি,

$(+2) + {(- 4) + (-8)} = (- 2) + \square = -10$

পেলাম, ${{(+2) + (-4)}} + (-8) = (+2) + {(-4) + (-8)}$

সংখ্যারেখা তৈরি করে মান খুঁজি :

${(-6) + (-2)} + (+8) = \square$

$(-6) + {(-2) + (+8)} = \square$

নিজে অন্য তিনটি পূর্ণসংখ্যা নিয়ে যোগের সংযোগ নিয়ম যাচাই করি। (নিজে করি)

.. পূর্ণসংখ্যার যোগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে। 💡

অর্থাৎ a, b ও c যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে $(a+b) + c = a + (b+c)$

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

7️⃣ সংখ্যারেখা থেকে ${{(+2) - (-4)}} - (-8)$-এর মান যাচাই করি

${{(+2) - (-4)}} - (- 8) = {{(+ 2) + (+4)}} + (+ 8) = (+6) + (+8) = \square$

আবার সংখ্যারেখায় দেখছি-

$(+2) - {(-4) - (-8)} = (+ 2) - {(-4) + (+ 8)} = (+2) - (+4) = (+2) + (-4) = -2$

(নিজে সংখ্যারেখা তৈরি করি ও মান খুঁজি)

.. ${{(+2) - (-4)}} - (-8) \ne (+2) - {(-4) - (-8)}$

নিজে অন্য যেকোনো তিনটি পূর্ণ সংখ্যা নিয়ে সংখ্যারেখায় বিয়োগ করি ও যাচাই করি যে পূর্ণ সংখ্যার বিয়োগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না। (নিজে করি)

সংখ্যারেখায় বিয়োগের মাধ্যমে পেলাম, পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ $\square$ নিয়ম মেনে চলে না।

.. a, b ও c যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে $(a-b) - c \ne a - (b - c)$

নিজে করি-4.2

1. বামদিকের সাথে ডানদিকের নিয়মের সম্পর্ক মিলিয়ে মেলাই।

(i) $(+6) + (-2) = (-2) + (+6)$	(i) পূর্ণসংখ্যার যোগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।
(ii) $(-8) - (+2) \ne (+2) - (-8)$	(ii) পূর্ণসংখ্যার যোগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে।
(iii) {(-1) - (-11)}} - (-12) \ne (-1) - {(-11) - (-12)}	(iii) পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।
(iv) ${{(+3) + (-7)}} + (-11) = (+3) + {(-7) + (-11)}$	(iv) পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না।

2. এমন একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা লিখি যেটি দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমষ্টির সমান।
3. এমন একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা লিখি যেটি দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বিয়োগের সমান।
4. এমন একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা লিখি যেটি দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বিয়োগের সমান।

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

আজ পলিদের বাড়ির ছাদে একটি আলোচনা সভার আয়োজন করা হয়েছে। 40টি চেয়ার রাখা হবে। কিন্তু সারিতে ৪টি ও স্তম্ভে ১টি চেয়ার রাখলে অর্থাৎ $৪ \times ৫$ ভাবে রাখলে ছাদে রাখা যাচ্ছে না। তাই $৫ \times ৮$ ভাবে অর্থাৎ সারিতে 5টি এবং স্তম্ভে ৪টি রেখে দেখলাম ছাদে রাখা যাচ্ছে।

এটি কেমন করে সম্ভব হলো?

$8 \times 5 = 5 \times 8$

a ও b দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a \times b = b \times a$ অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যার গুণ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে।

সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যা গুণ করি।

8️⃣ $4 \times 2$-এর মান খুঁজি

.. সংখ্যারেখা থেকে পেলাম $4 \times 2 = (+2) + (+2) + (+2) + (+2) = +8$

9️⃣ $2 \times 4$-এর মান খুঁজি

... সংখ্যারেখা থেকে পেলাম $2 \times 4 = (+4) + (+4) = +8$

.. $4 \times 2 = 2 \times 4$, অর্থাৎ এক্ষেত্রেও পূর্ণসংখ্যার গুণের বিনিময় নিয়ম প্রযোজ্য।

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

$3 \times (-4)$ -এর মান সংখ্যারেখায় খুঁজি

সংখ্যারেখা থেকে পেলাম $3 \times (-4) = (-4) + (- 4) + (-4) = - 12 = - (3 \times 4)$

আবার $2 \times (-3) = -3 - 3 = - 6 = -(2 \times 3)$ $2 \times (-3)$ মান নির্ণয়ের সময়ে প্রথমে $2 \times 3$-এর মান নির্ণয় করে সামনে ঋণাত্মক চিহ্ন বসালাম $3 \times (-5) = \square + \square + \square = \square \times \square$

নিজে করি-4.3

(i) $6 \times (- 8) = \square = - 48$ (ii) $7 \times (-3) = \square$ (iii) $9 \times (-12) = \square$

.. a ও b দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a \times (- b) = - (a \times b)$

এবার অন্যভাবে গুণ করি-

$3 \times 3 = 9$ $2 \times 3 = 6 = 9 - 3$ $1 \times 3 = 3 = 6 - 3$ $0 \times 3 = 0 = 3 - 3$ $-1 \times 3 = 0 - 3 = - 3$ $-2 \times 3 = -3 - 3 = - 6$

পেলাম, $3 \times (-2) = - 6 = (-2) \times 3$

.. a ও b যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a \times (- b) = (-a) \times b = - (a \times b)$

যাচাই করি

(i) $(-4) \times 3 = 4 \times (-3) = \square$ (ii) $6 \times (-8) = \square$ (iii) $7 \times (-3) = \square$ (iv) নিজেরা আরও 4টি উদাহরণ তৈরি করে যাচাই করি।

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

10️⃣ এবার $(-4) \times (-3)$-এর মান বের করার চেষ্টা করি।

$(-4) \times 3 = - 12$
$(- 4) \times 2 = - 8 = - 12 - (- 4)$
$(-4) \times 1 = - 4 = - 8 - (- 4)$
$(-4) \times 0 = 0 = \square -(-4)$
$(-4) \times (-1) = 0 - (- 4) = 0 + 4 = 4$
$(-4) \times (-2) = 4 - (- 4) = 4 + 4 = 8$
$(-4) \times (-3) = \square - (- 4) = 8 + 4 = 12$

দুটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলের যেমন $(-4) \times (-3)$ -এর মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে $4 \times 3$-এর মান নির্ণয় করে গুণফলের আগে ধনাত্মক চিহ্ন বসবে।

11️⃣ যাচাই করি, $(-2) \times (-3)$

Calculation	Result
$(-2) \times 3 = \square$
$(-2) \times 2 = \square = \square - (-2)$
$(-2) \times 1 = \square = \square$
$(-2) \times 0 = \square = \square$
$(-2) \times (-1) = 0 - (-2) = \square + \square = \square$
$(-2) \times (-2) = \square + \square = \square$
$(-2) \times (-3) = \square + \square = \square$

আরও সংখ্যা নিয়ে যাচাই করি।

... a ও b যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে $(-a) \times (- b) = a \times b$

নিজে করি-4.4

(i) $(-5) \times 2$ থেকে শুরু করে $(-5) \times (-2)$-এর মান নির্ণয় করি। (ii) $(-7) \times 3$ থেকে শুরু করে $(-7) \times (-3)$-এর মান নির্ণয় করি। (iii) $(-6) \times 2$ থেকে শুরু করে $(-6) \times (-4)$ -এর মান নির্ণয় করি। (iv) $(-7) \times (-9) = \square$ (v) $\square \times (-33) = \square$ (vi) $0 \times (-6) = \square$ (vii) $(-12) \times (-3) = \square$ (viii) $(- 7) \times 0 = \square$

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

হাতেকলমে রঙিন কার্ডের সাহায্যে পূর্ণসংখ্যার গুণ করি।

(i) প্রথমে দুটি রঙিন বর্গাকার কাগজ নিলাম। নীল রঙের একক বর্গের মান $(+1)$ ও লাল রঙের একক বর্গের মান $(-1)$ নিলাম। → +1, → -1 (ii) কতকগুলি বর্গাকার কার্ড তৈরি করলাম যার একদিকে নীল রঙের বর্গাকার কাগজ ও অন্যদিকে লাল রঙের বর্গাকার কাগজ আটকে দিলাম। (iii) একটি সাদা কাগজের আয়তাকার বাহুর একদিকে গুণ্য বা গুণকের ধনাত্মক সংখ্যার জন্য একক দৈর্ঘ্যের নীলদাগ ‘–’ এবং অন্যদিকে গুণ্য বা গুণকের ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য একই দৈর্ঘ্যের লালদাগ ‘–’ দিলাম। (iv) এই আয়তাকার বাহুর একদিকে ‘–’ লাল দাগ থাকলে সব নীল রঙের কার্ডগুলি 1বার উল্টে যাবে ও সব নীল কার্ড লাল হয়ে যাবে।

হাতেকলমে $(+4) \times (+3)$ নির্ণয় করি

1. ছবির মতো আয়তাকার বাহুর একদিকে চারটি নীল দাগ ও অন্যদিকে 3টি নীল দাগ টানলাম।

2. এবার নীল রঙের একক বর্গের কার্ড দিয়ে আয়তাকারে ছবির মতো ভরাট করলাম। নীল কার্ডের সংখ্যা 12টি।

3. .. 12টি নীল রঙের কার্ডের মান $(+12)$

$(+4) \times (+3) = +12$

হাতেকলমে $(-4) \times (+3)$ নির্ণয় করি

1. ছবির মতো 4টি একক দৈর্ঘ্যের লাল দাগ এবং 3টি একক দৈর্ঘ্যের নীল দাগ টানলাম।

2. যেহেতু একদিকে লাল দাগ আছে, তাই কার্ডগুলি একবার উল্টে যাবে ও সব কার্ডগুলি লাল হয়ে যাবে।

3. লাল রঙের 12টি কার্ড পেলাম, যার মান $(-12)$

.. $(-4) \times (+3) = -12$ পেলাম।

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

হাতেকলমে $(-4) \times (-3)$ এর মান নির্ণয় করি

1. পাশের ছবির মতো 7টি লাল দাগ টানলাম

2. পাশের ছবির মতো নীল রঙের একক বর্গাকার কার্ড দিয়ে আয়তাকারে সাজালাম।

3. যেহেতু দুদিকে লাল দাগ আছে, কার্ডগুলি দু-বার উল্টে যাবে ও সব কার্ডগুলি আবার নীল হবে।

হাতে কলমে $(-4) \times (-3) = 12$ পেলাম।

নিজে করি-4.5

1. নীচের ছক পূরণ করি :

$\times$	-4	-6	7	-11	13	-15	-20	25	-30	-40	50
5										-200
-3						60
4
-5
-8		-56
7				91					-210
16

2. $(-7) \times 7 + 12 \times (-8) = \square$
3. $(-20) \times 11 + (-35) \times 20 = \square$
4. $\square \times \square + \square \times \square = - 100$ [নিজে বসাই]
5. $4 \times (-4) + (-5) \times 5 = \square$
6. $(-6) \times (-10) + (-4) \times 4 = \square$
7. $\square \times \square + \square \times \square = \square$ [নিজে বসাই]

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

12️⃣ এবার তিনটি পূর্ণসংখ্যার গুণ করি-

$2 \times 4 \times 5 = (2 \times 4) \times 5 = 8 \times 5 = 40$ $2 \times 4 \times 5 = 2 \times (4 \times 5) = 2 \times 20 = 40$ .. $(2 \times 4) \times 5 = 2 \times (4 \times 5)$

$(-2) \times (-4) \times (-3) = {(-2) \times (-4)} \times (-3) = (8) \times (-3) = -24$ $(-2) \times (-4) \times (-3) = (-2) \times {(-4) \times (-3)} = (-2) \times (12) = -24$

${(-2) \times (-4)} \times (-3) = (-2) \times {(-4) \times (-3)}$

দেখলাম, a, b, c, তিনটি যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে $a b c = (a b).c = a. (b c)$.

সুতরাং গুণের ক্ষেত্রেও পূর্ণসংখ্যারা সংযোগ নিয়ম মেনে চলে।

13️⃣ $(-2) \times (-5) \times (-4) \times (-8) = {(-2) \times (-5)} \times (-4) \times (-8)$

$= \square \times (-4) \times (-8)$ $= (-40) \times (-8)$ $= 320$

নিজে করি -4.6

(i) $(-6) \times (-5) \times (-7) \times (-3) = \square$ (ii) $(-5) \times (-2) \times (-10) \times (-8) \times (-3) = \square$ (iii) $(-11) \times (-12) \times (-2) = \square$ (iv) $(-11) \times (-9) \times (-5) \times (-6) \times (-3) = \square$

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

গুণ করি

$(-1) \times (-1) = +1=1$ $(-1) \times (-1) \times (-1) = {(-1) \times (-1)} \times (-1)$ $= (+1) \times (-1) = -1$ $(-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)$ $= {(-1) \times (-1)} \times {(-1) \times (-1)}$ $= (+1) \times (+1) = 1 \times 1 = 1$ $(-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1)$ $= 1 \times (-1) \times (-1) \times (-1)$ $= (-1) \times (-1) \times (-1) = 1 \times (-1) = -1$

পেলাম, জোড় সংখ্যক ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলের চিহ্ন ধনাত্মক এবং বিজোড় সংখ্যক ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলের চিহ্ন ঋণাত্মক হয়। 📌

নীচের ছকটি পূরণ করি ও সিদ্ধান্ত লিখি।

গুণফল দেখি	সিদ্ধান্ত
$(7) \times (-2) = -14$
$(-2) \times 7 = -14$	$7 \times (-2) = (-2) \times 7$
$8 \times (-3) = \square$
$(-3) \times 8 = \square$
$(-11) \times 12 = \square$
$12 \times (-11) = \square$
$(-13) \times (-10) = \square$
$(-10) \times (-13) = \square$
$(-23) \times 0 = \square$
$(-27) \times (-1) = \square$
{(-2) \times (-6)}} \times 7 = \square
$(-2) \times {(-6) \times (7)} = \square$
$(-3) \times {(-5) \times (-9)} = \square$
{(-3) \times (-5)}} \times (-9) = \square
{ (13) \times (-1)}} \times (-2) = \square
$(-25) \times 1 = \square$
$(-29) \times \square = \square$
নিজে পূর্ণসংখ্যার গুণের একটি উদাহরণ তৈরি করি

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

ছক থেকে পেলাম,

a ও b যে কোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে, $a \times b = b \times a$

আবার a,b ও c যে কোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে, $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ হবে।

14️⃣ পূর্ণসংখ্যার গুণের অন্য কোনো নতুন নিয়ম আছে কিনা দেখি

$10 \times (13+15)=10 \times 28=280$ আবার, $10 \times 13+10 \times 15=130+150=280$

.. পেলাম, $10 \times (13+15)=10 \times 13+10 \times 15$

15️⃣ আমি অন্য একটি পূর্ণসংখ্যার অঙ্ক তৈরি করে যাচাই করি,

$12 \times (17+21)=12 \times 38=456$ $12 \times 17+12 \times 21=204+252=456$

.. $12 \times (17+21)=12 \times 17+12 \times 21$

.. পেলাম, a, b ও c তিনটি পূর্ণসংখ্য হলে, $a \times (b+c)= a \times b + a \times c$ হয়. অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যার গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে। 💡

নিজে করি- 4.7

1. $9 \times (8+3) \square 9 \times 8+9 \times 3$ [=/$\ne$ বসাই]
2. $6 \times (5+4) \square 6 \times 5+6 \times 4$ [=/$\ne$ বসাই ]

16️⃣ পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে গুণের বিচ্ছেদ নিয়ম যাচাই করি

i) $(-5) \times (7+2)=(-5) \times (9)= - 45$ $(-5) \times 7+(-5) \times 2=(-35)+(-10)= - 45$ .. $(-5) \times (7+2)=(-5) \times 7+(-5) \times 2$

ii) $(-2) \times {(-3)+(+2)}= (-2) \times (-1)=2$ $(-2) \times (-3)+(-2) \times (+2)= 6+(-4)=2$ .. $(-2) \times {(-3)+ (+2)}=(-2) \times (-3)+(-2) \times (+2)$

iii) $(-11) \times {(-4)+(-7)}= \square \times \square = \square$ $(-11) \times (-4)+(-11) \times (-7)= \square + \square = \square$ .. $(-11) \times {(-4)+(-7)}= \square = (-11) \times (-4)+(-11) \times (-7)$

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

বাস্তবে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যার ব্যবহার

17️⃣ নীতু ও মিলনের আজ একটি বিজ্ঞানবিষয়ক প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষা ছিল। পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে 12টি প্রশ্ন ছিল। প্রতি প্রশ্নের ঠিক উত্তরের জন্য 6 নম্বর ও প্রতি প্রশ্নের ভুল উত্তরের জন্য -3 নম্বর দেওয়া হবে। নীতু 7টি ঠিক উত্তর দিয়েছে। কিন্তু 5 টি উত্তর ভুল হয়েছে।

আমি কত নম্বর পাব? হিসাব করি।

7টি ঠিক উত্তরের জন্য পাবে $7 \times 6$ নম্বর = 42 নম্বর 5টি ভুল উত্তরের জন্য পাবে $5 \times (-3)$ নম্বর = -15 নম্বর ... নীতু মোট নম্বর পাবে, ${42 + (-15)}$ নম্বর $= (42-15)$ নম্বর = 27 নম্বর

মিলনের 12 টি উত্তরের মধ্যে 6 টি ঠিক ও 6টি ভুল হয়েছে।

মিলন 6টি ঠিক উত্তরের জন্য পাবে, $6 \times 6$ নম্বর $=36$ নম্বর 6টি ভুল উত্তরের জন্য পাবে, $6 \times (-3)$ নম্বর $= -18$ নম্বর .. মিলন মোট নম্বর পাবে ${36+(-18)}=18$

18️⃣ রুমেলার 12 টি উত্তরের মধ্যে 4 টি ঠিক ও ৪ টি ভুল হয়েছে। রুমেলা কত নম্বর পাবে দেখি।

রুমেলা 4টি ঠিক উত্তরের জন্য পাবে $\square \times \square = \square$ ৪টি ভুল উত্তরের জন্য পাবে $\square \times \square = \square$ .. রুমেলা মোট নম্বর পাবে $\square - \square = \square$

19️⃣ এক ফল বিক্রেতার প্রতি কিগ্রা. আম বিক্রি করে 5 টাকা লাভ হলো। কিন্তু প্রতি কিগ্রা. লিচু বিক্রি করে 4 টাকা ক্ষতি হলো। তিনি 10 কিগ্রা. আম ও 14 কিগ্রা. লিচু বিক্রি করলেন। তার মোট কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হলো হিসাব করি।

আম বিক্রি করে 1 কিগ্রা.তে লাভ করলেন 5 টাকা।

.. 10 কিগ্রা.তে লাভ করলেন $5$টাকা $\times 10 =50$ টাকা। .. 1 কিগ্রা. লিচু বিক্রি করে ক্ষতি হলো 4 টাকা । .. 1 কিগ্রা. লিচু বিক্রি করে লাভ হলো -4 টাকা। .. 14 কিগ্রা. লিচু বিক্রি করে লাভ হলো $14 \times (-4)$ টাকা। $= -56$ টাকা

.. ফল বিক্রেতার মোট লাভ হলো ${50 + (-56)}$ টাকা $= (50-56) = -6$ টাকা ... ফল বিক্রেতার ক্ষতি হয় 6 টাকা।

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

নিজে করি- 4.8

1. মিজানুর, তীর্থ ও নাফুরা একটি পরীক্ষা দিয়েছে। ওই পরীক্ষায় 10 টি প্রশ্ন ছিল। পরীক্ষাটিতে প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 5 নম্বর ও প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য -2 নম্বর পাবে।

a) মিজানুরের 6 টি প্রশ্নের উত্তর ঠিক হয়েছে এবং বাকি 4টি প্রশ্নের উত্তর ভুল হয়েছে। b) তীর্থর 5টি প্রশ্নের উত্তর ঠিক হয়েছে এবং বাকি ১টি প্রশ্নের উত্তর ভুল হয়েছে। c) নাফুরা 3টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর দিয়েছে এবং বাকি 7টি প্রশ্নের উত্তর ভুল দিয়েছে।

প্রতিক্ষেত্রে কে কত নম্বর পাবে হিসাব করি।

2. একটি ফার্ণিচারের দোকানে এই মাসে 15টি কাঠের আলমারি বিক্রি হয়েছে। 10 টি আলমারির প্রত্যেকটিতে 300 টাকা লাভ হয়েছে। কিন্তু বাকি ১টি আলমারিতে মোট 200 টাকা ক্ষতি হয়েছে। ওই দোকানের মালিকের এইমাসে আলমারি বিক্রি করে কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হয়েছে হিসাব করি।

3. একটি কয়লার খনিতে একটি লিফট মাটি থেকে শুরু করে প্রতি মিনিটে 6 মিটার নামছে। লিফটটি নীচে নামা শুরু করার 30 মিনিট পরে তার অবস্থান কোথায় হবে দেখি। যদি লিফটটি ভূমির 20 মিটার উঁচু থেকে শুরু করত তবে 30 মিনিট পরে লিফটটি কী অবস্থানে থাকত দেখি।

ধরি ভূমির উপরের দিকের দূরত্ব ধনাত্মক এবং মাটির নীচের দিকের দূরত্ব ঋণাত্মক।

যেহেতু লিফটটি ভূমির নীচে যাবে,

.. 1 মিনিটে লিফটটি নামবে 6 মিটার [অর্থাৎ যাবে -6 মিটার] 30 মিনিটে লিফটটি নামবে $6 \times 30$ মিটার = 180 মিটার। [অর্থাৎ যাবে -180 মিটার] অর্থাৎ 30 মিনিট পরে ভূমির 180 মিটার নীচে থাকবে।

যদি লিফটটি ভূমির 20 মিটার উঁচুথেকে ভূমির নীচে যেত তাহলে, 30 মিনিট পরে লিফটটির অবস্থান হতো ${(-180)+20}$ মিটার $= -160$ মিটার অর্থাৎ, লিফটটি ভূমি থেকে 160 মিটার নীচে থাকত।

4. অপর একটি খনিতে একটি লিফট প্রতি মিনিটে 4 মিটার নামছে।

(a) এক ঘণ্টা পরে লিফটটি কী অবস্থানে থাকবে দেখি। (b) যদি লিফটটি ভূমির 15 মিটার উপর থেকে নামত তবে 30 মিনিট পরে লিফটটি কোথায় থাকত হিসাব করে লিখি।

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

20️⃣ আজ আমরা ৪ জন বন্ধু মিলে চাঁদা তুলে ঝালমুড়ি মাখব। ঠিক করেছি প্রত্যেকে 5 টাকা করে চাঁদা দেব। কিন্তু 3 জন বন্ধু বিশেষ কারণে বাড়ি চলে গেল। কত টাকা চাঁদা উঠল দেখি।

চাঁদা উঠল $5 \times (8-3)$ টাকা $=5 \times 5$ টাকা = 25 টাকা আবার $(5 \times 8 - 5 \times 3)$ কী পাই দেখি, $5 \times 8 - 5 \times 3 = 40 - 15 = 25$

.. $5 \times (8-3)=5 \times 8-5 \times 3$

অন্য সংখ্যা নিয়ে যাচাই করি

(i) $2 \times {6-(-2)} = 2 \times {6+2}= 2 \times 8=16$ $2 \times 6-2 \times (-2)= 12-(-4)= 12+4=16$ ... $2 \times {6-(-2)}=2 \times 6-2 \times (-2)$

(ii) $7 \times {(-3) - (-6)} =7 \times (-3+6)=7 \times 3=21$ $7 \times (-3)-7 \times (-6)=\square + \square =21$ (ফাঁকা ঘর ভরতি করি)

(iii) $(-9) \times {(-1)-(-6)}=(-9) \times {-1+6}=(-9) \times 5=-45$ আবার, $(-9) \times (-1)-(-9) \times (-6)=9-54=-45$ $(-9) \times {(-1)-(-6)}=(-9) \times (-1)-(-9) \times (-6)$

পেলাম, a, b ও c যে কোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলে, $a \times (b-c)=a \times b-a \times c$

(iv) a= -5, b= -2, c=3 নিয়ে $a(b-c)=a \times b-a \times c$ যাচাই করি। (v) যে কোনো চারটি উদাহরণ নিয়ে $a(b-c)=ab-ac$ যাচাই করি।

মনে মনে হিসাব করি

(i) $5 \times (13)=5 \times (10+3)=5 \times 10+5 \times 3=50+15=65$ (ii) $6 \times 18=6 \times (20-2)=6 \times 20-6 \times 2=120-12=108$ (iii) $7 \times 33=7 \times (\square)=7 \times \square+7 \times \square$ (iv) $9 \times 98=9 \times (100-2)= \square - \square = \square$ (v) $26 \times (-48)=26 [2-50]=26 \times 2-26 \times 50=\square \square$ (vi) $(-18) \times (-29) = \square \times \square$ (vii) $16 \times (25) \times (-4) \times 3 = 25 \times 16 \times (-4) \times 3 = 25 \times (-4) \times 16 \times 3$ $= (-100) \times 16 \times 3 =(-1600) \times 3 = -4800$ (viii) $12 \times (-50) \times (-2) \times 4=\square \square \square \square$ (ix) $(-51) \times (-19)+57=\square$

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

21️⃣ পূর্ণসংখ্যার গুণ থেকে কী পাই দেখি-

$5 \times 6=30$ $8 \times 4=32$

$30 \div 5= 6$ $30 \div 6=5$ $32 \div 4=\square$ $32 \div 8=\square$

$(-5) \times 7 = -35$ $(-8) \times (-6)=48$

$-35 \div (7)= -5$ $-35 \div (-5)=\square$ $48 \div (-8)=\square$ $48 \div (-6)=\square$

$(-4) \times 9 = -36$ $(-2) \times 7 = -14$

$-36 \div (-4)=\square$ $-36 \div (9)=\square$ $-14 \div \square = 7$ $-14 \div \square = \square$

$(-2) \times (-6)=\square$ $(-9) \times (-5)=\square$

$\, \div \square = \square$

বিভিন্ন ধরনের ভাগের অঙ্ক থেকে কী পেলাম দেখি-

$30 \div 6=5$ $35 \div (-7)=-5$ $(-36) \div (-4)=9$ $(-36) \div (9)=-4$

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

22️⃣ পূর্ণসংখ্যার ভাগ—

$35 \div 5= \frac{35}{5} = 7$ $-12 \div 3 = \frac{-12}{3} = -4$ $27 \div 3 = \frac{\square}{\square} = \square$ $-16 \div 2 = \frac{\square}{\square} = \square$ $(-25) \div 5 = \frac{-25}{5} = -5$ $(-55) \div (-5) = \frac{-55}{-5} = 11$ $(-49) \div 7 = \frac{\square}{\square} = \square$ $(- 52) \div (-4) = \frac{\square}{\square} = \square$

নীচের ছক পূরণ করি :

ভাগফল	ভাগফলের প্রকৃতি	ভাগফল	ভাগফলের প্রকৃতি
$21 \div (-3) = - 7$	ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা	$-25 \div (-3) = \square$	ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
$(-72) \div 4 = \square$		$(-72) \div 7 = \square$
$78 \div (-3) = \square$		$(-100) \div 5 = \square$
$81 \div 9 = \square$		$138 \div (-4) = \square$
$(-95) \div 4 = \square$		$145 \div 8 = \square$
$91 \div (5) = \frac{91}{5}$	ধনাত্মক ভগ্নাংশ	$196 \div (-6) = \square$
$42 \div (5) = \square$		$-144 \div (-15) = \square$
$(-69) \div (7) = -\frac{69}{7}$	ঋণাত্মক ভগ্নাংশ	$-221 \div (-7) = \square$

পেলাম, $21 \div (-3) = -7$ কিন্তু $(-3) \div 21 = -\frac{3}{21} = -\frac{1}{7}$

.. $21 \div (-3) \ne (-3) \div 21$

a ও b দুটি পূর্ণসংখ্যার জন্য $a \div b \ne b \div a$;

চারটি সংখ্যার উদাহরণ নিয়ে যাচাই করি $a \div b \ne b \div a$

অর্থাৎ সংখ্যার ভাগ $\square$ নিয়ম মেনে চলে না। 🚫

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

23️⃣ শূন্যকে ভাগ করলে কী পাব দেখি-

যেহেতুে শূন্যকে দুটি সমান সংখ্যক দলে ভাগ করলে শূন্য পাব। তাই $0 \div 2 = 0$ আবার $0 \div 4 = \square$, $0 \div (-8) = \square$, $0 \div (-11) = \square$ অর্থাৎ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $a \ne 0$-এর জন্য $0 \div a = 0$

ভাগের অন্য ধর্ম দেখি

24️⃣ $(-12) \div {(-8) \div (2) }$-এর মান নির্ণয় করি-

$(-12) \div {(-8) \div (2) }$ $= (-12) \div (-4)$ $= 3$

কিন্তু ${(-12) \div (-8)} \div 2$ $= (\frac{-12}{-8}) \div 2 = \frac{3}{2} \div 2 = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

.. $(-12) \div {(-8) \div 2} \ne {(-12) \div (-8)} \div 2$

যাচাই করি

(i) {125 \div (-25)} \div (5)} \ne {125 \div (-25)} \div 5 (ii) ${36 \div {18 \div (-2)}} \ne (36 \div 18) \div (-1)$

.. a, b ও c যে কোনো 3 টি পূর্ণসংখ্যার জন্য, $a \div (b+c) \ne (a + b) \div c$

অর্থাৎ শূণ্য ছাড়া পূর্ণসংখ্যার ভাগ $\square$ নিয়ম মেনে চলে না।

নিজে করি-4.9

যে কোনো 4 টি সংখ্যার উদাহরণ তৈরি করে যাচাই করি যে পূর্ণসংখ্যার ভাগ সংযোগ নিয়ম মেনে চলে না।

এবার পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে ভাগের বিচ্ছেদ নিয়ম দেখি –

নীচের অঙ্কটি দেখি	অন্যভাবে কষে দেখি,
$(-30) \div {(-5) + 2}$	$(-30) \div (-5) + (-30) \div 2$
$= (-30) \div (-3)$	$= 6+ (-15) = 6 - 15$
$= 10$	$= - 9$

.. $(-30) \div {(-5) + 2} \ne (-30) \div (-5) + (-30) \div 2$

.. a, b ও c যেকোনো 3 টি শূণ্য ছাড়া পূর্ণসংখ্যার জন্য, $a \div (b+c) \ne a \div b + a \div c$

যাচাই করি

(i) $16 \div {(-4) + 2} \ne 16 \div (-4) + 16 \div 2$ (ii) $(-70) \div {(7) + (-5)} \ne (-70) \div (7) + (-70) \div (-5)$

অধ্যায় : 4

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

25️⃣ ${(-5) + 2} \div (-30) = (-3) \div (-30) = \frac{1}{10}$

${(-5) + 2} \div (-30) = (-5) \div (-30) + (2) \div (-30)$

$= \frac{(-5)}{(-30)} + \frac{2}{(-30)} = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5-2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

${(-5) + 2} \div (-30) = (-5) \div (-30) + 2 \div (-30)$

দেখলাম a,b,c যেকোনো তিনটি পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে $(b+c) \div a = b \div a + c \div a, a \ne o$

অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যার ভাগ ডান বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে কিন্তু বাম বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে না। 💡

কষে দেখি - 4

1. মনে মনে হিসাব করি:

(a) $(-10) \times 4 = \square$ (b) $(-15) \times \square = - 90$ (c) $25 \times \square = - 125$ (d) $(-16) \times \square = 96$ (e) $(-13) \times \square = -104$ (f) $\square \times 21 = -126$ (g) $\square \times \square = -42$ (h) $\square \times (-30) = 330$ (i) $-26 \div \square = 1$ (j) $\square \div 1 = - 29$ (k) $\square \div (-59) = -1$ (l) $87 \div \square = - 87$

2. জোসেফ একটি পরীক্ষায় 15 টি প্রশ্নের মধ্যে 9 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর দিয়েছে। কিন্তু বাকি 6 টি প্রশ্নের উত্তর ভুল হয়েছে। প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 5 নম্বর পেয়ে সে মোট 33 নম্বর পেয়েছে। প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে হিসাব করি।

জোসেফ মোট নম্বর পেয়েছে 33; জোসেফ ঠিক উত্তর দিয়েছে 9 টি । প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য নম্বর পেয়েছে 5;

... 9 টি ঠিক উত্তরের জন্য মোট নম্বর পেয়েছে $9 \times 5 = \square$ ভুল উত্তরের জন্য কমে গেছে $45 - 33 = 12$ .. 6 টি উত্তর ভুল দিয়েছে ও তার জন্য কমেছে 12 নম্বর। .. 6 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে -12 .. 1 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে $(-12) \div 6 = \square$

3. রেহানা ও সায়ন দুজনেই পরীক্ষা দিয়েছে। প্রত্যেকের পরীক্ষায় মোট 12 টি প্রশ্ন ছিল।

(i) রেহানা ৪ টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং 4 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়ে 36 নম্বর পেয়েছে। কিন্তু প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 6 নম্বর পেয়েছে। রেহানার পরীক্ষায় প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে হিসাব করি। (ii) সায়ন 6 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং বাকি 6 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়ে মোট কত নম্বর পেয়েছে হিসাব করি।

পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ

অধ্যায় : 4

4. কোনো জায়গার তাপমাত্রা $12 \degree C$ ; প্রতি ঘণ্টায় সমান হারে তাপমাত্রা কমতে কমতে ৪ ঘণ্টা পরে সেখানকার তাপমাত্রা $- 4 \degree C$ হয়। সেখানে প্রতি ঘণ্টায় কত ডিগ্রি তাপমাত্রা কমেছে হিসাব করি।

5. একটি খনিতে একটি লিফট ৪ মিনিটে 24 মিটার নীচে নামে। লিফটটি যদি সমবেগে চলে তবে লিফটটি 6 মিনিটে কত মিটার নীচে থাকবে দেখি। ওই লিফটটা যদি ভূমির 10 মিটার উপর থেকে নীচে নামতে শুরু করে তবে 70 মিনিটে ভূমির কতটা নীচে থাকবে হিসাব করি।

6. নীচের ফাঁকা ঘর পূরণ করি-

(i) $- 16 \div (-2) + \square = -1$ (ii) $20 - 50 + \square = -1$ (iii) $41 \times (-5) + \square = -3$ (iv) $(-9) \times (-3) \times \square = -81$ (v) $(-15) \div (-5) = \square = -1$ (vi) $(-18) \div \square + 3 = -6$ (vii) $\square \div 4 - 2 = -7$ (viii) $\square \times (-1) + 9 = 0$

7. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।

8. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ সর্বদা বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে না।

9. মান নির্ণয় করি-

(i) $(-125) \div 5$ (ii) $(-144) \div 6$ (iii) $(-49) \div 7$ (iv) $225 \div (-3)$ (v) $169 \div (-13)$ (vi) $100 \div (-5)$ (vii) $(-81) \div (-9)$ (viii) $(-150) \div (-5)$ (ix) $(-121) \div (-11)$ (x) $(-275) \div (-25)$