6. বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

আমি, তীর্থ ও সায়ন আজ দেশলাই কাঠি দিয়ে নানানভাবে ত্রিভুজাকার, বর্গাকার ও আয়তাকার চিত্র তৈরি করব। তাই অনেকগুলি দেশলাই কাঠি নিয়ে টেবিলে রেখেছি। বুলু এবং সাবিনাও আমাদের এই মজার খেলায় যোগ দিল।

তীর্থ করল		4টি কাঠির প্রয়োজন।
		$\boxed{\phantom{4}}$ টি কাঠির প্রয়োজন।
		$\boxed{\phantom{4}}$ টি কাঠির প্রয়োজন।

💡 তীর্থর এই কাঠির সজ্জা থেকে এইরকম যেকোনো সজ্জায় কতগুলি কাঠি প্রয়োজন হিসাব করার চেষ্টা করি:

তীর্থর 1 টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $\boxed{4}$ টি দেশলাই কাঠির প্রয়োজন। 2 টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $4\times 2$ টি দেশলাই কাঠির প্রয়োজন। 3 টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $4\times 3$ টি দেশলাই কাঠির প্রয়োজন।

তাই এইরকম $x$ টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $4\times x$ টি দেশলাই কাঠির প্রয়োজন।

$= 4x \text{ টি দেশলাই কাঠির প্রয়োজন।}$

$4x$-এ $x$ সংখ্যা $\boxed{\text{চল}}$ [চল/ধ্রুবক] এবং $4$ $\boxed{\text{ধ্রুবক}}$ সংখ্যা [চল/ধ্রুবক]

	→	(3 + 1) টি কাঠি প্রয়োজন
কিন্তু বুলু একটু অন্যভাবে করল		→ (3×2 + 1) টি কাঠি প্রয়োজন
		→ (3×3 + 1) টি কাঠি প্রয়োজন

বুলুর এই কাঠির সজ্জা থেকে এইরকম যেকোনো সজ্জায় কতগুলি কাঠি প্রয়োজন হিসাব করার চেষ্টা করি – বুলুর এইরকম 1টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $(3 + 1)$ টি = $4$টি কাঠির প্রয়োজন।

---

অধ্যায় : 6 গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

কিন্তু 2টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $(3 \times 2 + 1)$টি = $7$ টি কাঠির প্রয়োজন। 3টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $3 \times 3$টি + 1টি = $10$ টি কাঠির প্রয়োজন। $x$ টি বর্গাকার চিত্রের জন্য $3 \times x$ টি+ 1টি = $(3x + 1)$ টি কাঠির প্রয়োজন। $(3x + 1)$ সংখ্যামালায় $x$ $\boxed{\text{চল}}$ [চল/ধ্রুবক], $3$ ও $1$ $\boxed{\text{ধ্রুবক}}$ সংখ্যা [চল/ধ্রুবক]

সাবিনা যে ধরনের সজ্জা তৈরি করল		→	$\boxed{\phantom{4}}$ টি কাঠির প্রয়োজন
		→	$\boxed{\phantom{4}}$ টি কাঠির প্রয়োজন
		→	$\boxed{\phantom{4}}$ টি কাঠির প্রয়োজন

কিন্তু সায়ন করল		→	$( \boxed{\phantom{x}} + \boxed{\phantom{y}} )$ টি কাঠির প্রয়োজন
		→	$( \boxed{\phantom{x}} \times \boxed{\phantom{y}} + \boxed{\phantom{z}} )$ টি কাঠির প্রয়োজন
		→	$( \boxed{\phantom{x}} \times \boxed{\phantom{y}} + \boxed{\phantom{z}} )$ টি কাঠির প্রয়োজন

সাবিনা ও সায়নের কাঠির যেকোনো একটি সজ্জায় কতগুলি দেশলাই কাঠি প্রয়োজন তার হিসাব করে বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় প্রকাশ করি।

এই $4x$, $(3x + 1)$-এ চল ও ধ্রুবক সংখ্যা দুই-ই আছে। এদের কী বলা হয়?

$4x$, $(3x + 1)$ এদের বীজগাণিতিক সংখ্যামালা বলা হয়। কিছু চল ও কিছু ধ্রুবক যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের সাহায্যে বীজগাণিতিক সংখ্যামালা তৈরি হয়। $(3x + 1)$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $3x$ একটি পদ ও $1$ অন্য একটি পদ।

নিজে করি-6.1

আমরা বীজগাণিতিক সংখ্যামালা লিখি ও পদগুলি খুঁজি

$4x, 3x + 1, 2x + 1, 6p - 1, 3y + 6$.

---

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অধ্যায় : 6

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা	পদগুলি	পদসংখ্যা	বীজগাণিতিক সংখ্যামালার প্রকারভেদ	চল	ধ্রুবকসংখ্যা
$4x$	$4x$	1টি	একপদী	$x$	$4$
$3x + 1$	$3x$ ও $1$	2টি	দ্বিপদী	$x$	$3, 1$
$2x + 1$	$2x$ ও $1$	2টি	দ্বিপদী	$x$	$2, 1$
$6p - 1$	$6p$ ও $-1$	2টি	দ্বিপদী	$p$	$6, -1$
$3y + 6$	$3y$ ও $6$	2টি	দ্বিপদী	$y$	$3, 6$

[4x] বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটির ধ্রুবক সংখ্যা $4$-এর সাথে চল $x$ গুণ করা হয়েছে। $4x$-এর উৎপাদক $1, 2, 4, x, 2x \text{ ও } 4x$। $4x$-এর পদ 1টি। তাই $4x$ একপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

1️⃣ $(3x + 1)$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটিকে উৎপাদক গাছের মতো চিত্রে দেখি।

দেখছি, $3x + 1$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালার দুটি পদ। তাই $3x + 1$ দ্বিপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

2️⃣ $(6p - 1)$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালাটিকে উৎপাদক গাছের মতো চিত্রে দেখি।

$6p - 1$ $\boxed{\text{দ্বিপদী}}$ পদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

নিজে করি-6.2

1. $2x + 1$, 2) $3y + 6$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি উৎপাদক গাছের মতো চিত্র এঁকে পদ ও উৎপাদকগুলি দেখাই।

---

অধ্যায় : 6 গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

এবার তীর্থ অনেকগুলি আয়তাকার চিত্র আঁকল।

ক্ষেত্রফল = $6\times 4$ বর্গসেমি. ক্ষেত্রফল = $\boxed{4\times 5}$ বর্গসেমি. ক্ষেত্রফল $8\times 8$ বর্গসেমি. = $8^2$ বর্গসেমি.

সেক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল $x \times y$ বর্গসেমি. = $xy$ বর্গসেমি. এখানে দুটি চল $x$ ও $y$

আবার, দৈর্ঘ্য $2x$ একক এবং প্রস্থ $y$ একক হলে ক্ষেত্রফল $(2x \times y)$ বর্গ একক = $2xy$ বর্গ একক এখানেও দুটি চল $\boxed{x}$ ও $\boxed{y}$

বর্গাকার চিত্রের একটি বাহু $x$ সেমি. $\therefore$ ক্ষেত্রফল = $x \times x$ বর্গসেমি.

$x^2 \text{ বর্গসেমি. [\cdot\!\cdot 2\times 2 =} 2^2 \text{], এখানে চল } \boxed{x} \text{ টি।}$

এক্ষেত্রে যেহেতু একক আছে যেমন সেমি., তাই $xy$ বর্গসেমি., $2xy$ বর্গসেমি., $x^2$ বর্গসেমি. বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

$2\times 2\times 2 = 2^3$, তাই $x\times x\times x\times x\times x = x^5$, $x^3$-এ চল $\boxed{x}$ টি।

আজ আমরা নানান বীজগাণিতিক সংখ্যামালা তৈরি করব ও সেই সংখ্যামালার বিভিন্ন দিক নিয়ে আলোচনা করব।

3️⃣ $5x^2 + y$ কেমন করে পেলাম দেখি-

প্রথমে $x$ -এর সাথে $x$ গুণ করে $x^2$ পেয়েছি।

এবার $x^2$ -এর সাথে $5$ গুণ করে $5x^2$ পেলাম।

তারপর $5x^2$-এর সাথে $y$ যোগ করেছি। $5x^2 + y = 5 \times x \times x + y$

$5x^2 + y$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় দেখছি, পদ 2 টি। চল $x$ ও $y$ এবং ধ্রুবক সংখ্যা $5$ ও $1$

কিন্তু $5x^2$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $5$কে $x^2$-এর কী বলব?

$5$-কে $x^2$-এর সহগ বলা হয়।

---

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অধ্যায় : 6

$5x^2$-এ $5$ -এর সহগ $x^2$ ও $5x$ -এর সহগ $\boxed{5}$ এবং $x^2$ -এর সহগ $\boxed{1}$

4️⃣ $2xy^2 + 3y$ কেমন করে পেলাম দেখি।

প্রথমে $y$-এর সাথে $\boxed{y}$ গুণ করে $y^2$ পেলাম।

এবার, $2, x$ ও $y^2$ $\boxed{\text{গুণ}}$ করে $2xy^2$ পেলাম। $3$ ও $y$ গুণ করে $3y$ পেলাম।

এবার $2xy^2$ ও $3y$ যোগ করলাম।

$2xy^2 + 3y = \boxed{2} \times \boxed{x} \times \boxed{y} \times \boxed{y} + \boxed{3} \times \boxed{y}$

$2xy^2 + 3y$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $\boxed{2}$ টি পদ আছে। তাই এটি $\boxed{\text{দ্বিপদী}}$ পদী। এখানে $x$ ও $y$ $\boxed{\text{চল}}$ (চল/ধ্রুবক)।

$2xy^2$-এ $x$-এর সহগ $2y^2$, $xy^2$-এর সহগ $\boxed{2}$, $y$-এর সহগ $\boxed{2x}$ এবং $y^2$ -এর সহগ $\boxed{2x}$

$2xy^2$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $xy^2$-এর সংখ্যাগত সহগ $2$

5️⃣ $(9+ x - y)$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে উৎপাদক গাছের চিত্রের মতো সাজাই ও কী পেলাম দেখি -

দেখছি $(9 + x - y)$-এর $\boxed{3}$ টি পদ আছে,

$\therefore 9 + x - y$ একটি $\boxed{\text{ত্রিপদী}}$ পদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা।

6️⃣ কিন্তু $9 + x - y$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $x$ ও $y$-এর সহগ কী?

$x = 1\times x, \therefore x$-এর সহগ $\boxed{1}$

$- y = \boxed{-1} \times y, \therefore y$-এর সহগ $\boxed{-1}$

নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দেখে ও বুঝে ফাঁকা ঘরে লিখি –

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা	পদ গুলি	পদসংখ্যা	পদসংখ্যা কথায়	চল গুলি	ধ্রুবক ছাড়া পদ	চল সংখ্যাযুক্ত পদের উৎপাদকে বিশ্লেষণ
$xy + 8$	$xy, 8$	2	দ্বিপদী	$x,y$	$xy$	$xy = x \times y$
$7x + 2y$	$7x, 2y$	2	দ্বিপদী	$x,y$	$7x, 2y$	$7x = 7 \times x \newline 2y = 2 \times y$
$5z - 2xz$	$5z, -2xz$	2	দ্বিপদী	$x,z$	$5z, -2xz$	$5z = 5 \times z \newline -2xz = -2 \times x \times z$
$x^2 + 2x + 3$	$x^2, 2x, 3$	3	ত্রিপদী	$x$	$x^2, 2x$	$x^2 = x \times x \newline 2x = 2 \times x$
$x + y + 5$	$x, y, 5$	3	ত্রিপদী	$x,y$	$x, y$	$x = x \newline y = y$
$x^3y + 5x$	$x^3y, 5x$	2	দ্বিপদী	$x,y$	$x^3y, 5x$	$x^3y = x \times x \times x \times y \newline 5x = 5 \times x$

---

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অধ্যায় : 6

হাতেকলমে

কাগজ কেটে বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার রঙিন কার্ডের সাহায্যে বীজগাণিতিক সংখ্যামালা (i) $3x^2 + 4x + 6$ (ii) $2x^2 - x - 3$ লিখি।

(1) প্রথমে অনেকগুলি পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার টুকরো তৈরি করলাম। 2 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 2 সেমি. প্রস্থের কিছু বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড কাটলাম। 2 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 1 সেমি. প্রস্থের কিছু আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড কাটলাম। 1 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 1 সেমি. প্রস্থের কিছু বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড কাটলাম।

(2) 2 সেমি. $\times$ 2 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের একদিকে নীল রং ও অন্যদিকে লাল রঙের কাগজ আটকে দিলাম। 2 সেমি. $\times$ 1 সেমি. আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের একদিকে নীল রং ও অন্যদিকে লাল রঙের কাগজ আটকে দিলাম। 1 সেমি. $\times$ 1 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের একদিকে নীল রং ও অন্যদিকে লাল রঙের কাগজ আটকে দিলাম।

নীচের ছবির মতো অনেকগুলি বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার নীল রঙের পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করলাম।

ধরি, 1 টি $2 \times 2$ নীল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow x^2$, 1 টি $2 \times 1$ নীল আয়তক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow x$ ও 1 টি $1 \times 1$ নীল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow 1$ আবার 1 টি $2 \times 2$ লাল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow (-x^2)$, 1 টি $2 \times 1$ লাল আয়তক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow (-x)$ ও 1 টি $1\times 1$ লাল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $\rightarrow -1$

(3) এই রঙিন পিচবোর্ডের টুকরোগুলি দিয়ে $(3x^2 + 4x + 6)$ সাজাই

(4) এই রঙিন পিচবোর্ডের টুকরোগুলি দিয়ে $(2x^2 - x - 3)$ সাজাই

---

অধ্যায় : 6 গণিতপ্রভা -- সপ্তম শ্রেণি

প্রতি ঘরে দুই বা দুইয়ের বেশি বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দেওয়া আছে। তাদের পদগুলির মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি –

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা	প্রতিটি বীজগাণিতিক সংখ্যামালার পদের মৌলিক উৎপাদকগুলি	বীজগাণিতিক পদগুলি সদৃশ না অসদৃশ
$8x$	$2, x$	সদৃশ
$2x$	$2, x$
$-2x$	$2, x$
$2xy$	$1, 2, x, y$	$\boxed{\text{সদৃশ}}$
$-xy$	$x, y$
$7yx$	$7, y, x$
$3x^2y$	$3, x, x, y$	অসদৃশ
$5x^2y$	$5, x, x, y$
$xy^2$	$x, y, y$
$ab^2$	$a, b, b$	$\boxed{\text{সদৃশ}}$
$-2ab^2$	$2, a, b, b$

কষে দেখি- 6.1

1. বীজগাণিতিক সংখ্যামালা তৈরি করি।

(a) $x$-এর সঙ্গে $y$ যোগ। $\rightarrow x+y$ (b) $z$ থেকে $x$ বিয়োগ। $\rightarrow z-x$ (c) $p$-এর দ্বিগুণের সঙ্গে $q$ যোগ। $\rightarrow 2p+q$ (d) $x$-এর বর্গের সঙ্গে $x$ গুণ । $\rightarrow x^2 \times x = x^3$ (e) $x$ ও $y$-এর যোগফলের $\frac{1}{4}$ অংশ। $\rightarrow \frac{1}{4}(x+y)$ (f) $a$ ও $b$-এর গুণফলের $4$ গুণের সঙ্গে $7$ যোগ করলাম। $\rightarrow 4ab+7$ (g) $x$-এর দ্বিগুণের সঙ্গে $y$-এর অর্ধেক যোগ । $\rightarrow 2x+\frac{y}{2}$ (h) $x$ ও $y$-এর সমষ্টি থেকে $x$ ও $y$-এর গুণফল বিয়োগ । $\rightarrow (x+y)-xy$

2. নীচের দেশলাই কাঠির প্যাটার্ন দেখি ও ছকে লিখি।

(a)

উপরের দেশলাই কাঠি দিয়ে তৈরি প্যাটার্নের সংখ্যা	1	2	3	4	5	6	7	....
দেশলাই কাঠির সংখ্যা	7	12	17	22	27	32	37	$5n+2$

---

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অধ্যায় : 6

এবার চল দিয়ে সাধারণ নিয়মটি তৈরি করি।

(b)

| ট্রাপিজিয়ামের সংখ্যা | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ........ | |--------------------|---|---|---|---|---|---|---|----------| | দেশলাই কাঠির সংখ্যা | 5 | 9 | 13 | 17 | 21 | 25 | $4n+1$ |

এবার চল দিয়ে সাধারণ নিয়ম তৈরি করি।

3. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি উৎপাদক গাছের চিত্রের আকারে সাজিয়ে প্রত্যেকটি পদের মৌলিক উৎপাদকগুলি দেখাই ও তারা কতপদী সংখ্যা তা লিখি।

(a) $5x$ (b) $7 + 2x + x^2$ (c) $x^2 + x + 1$ (d) $2x^2y +7$ (e) $2y^3 + y$ (f) $x^2y + xy^2+xyz$ (g) $xy+2x^2y^2$ (h) $5x + 2y$

4. নীচে বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় ধ্রুবক ছাড়া অন্য পদগুলির সংখ্যামূলক সহগ (Numerical coefficient) লিখি।

(a) $2x + 3y$ $\rightarrow$ $x$ এর সহগ 2, $y$ এর সহগ 3 (b) $x^2 + 2x + 5$ $\rightarrow$ $x^2$ এর সহগ 1, $x$ এর সহগ 2 (c) $x + 5xy - 7y$ $\rightarrow$ $x$ এর সহগ 1, $xy$ এর সহগ 5, $y$ এর সহগ -7 (d) $-5-z$ $\rightarrow$ $z$ এর সহগ -1 (e) $x^3 + x - y$ $\rightarrow$ $x^3$ এর সহগ 1, $x$ এর সহগ 1, $y$ এর সহগ -1 (f) $\frac{x}{2}+4$ $\rightarrow$ $x$ এর সহগ $\frac{1}{2}$

5. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $x$ উৎপাদকযুক্ত পদের বা পদগুলির $x$-এর সহগ লিখি।

(a) $y^3x + y^2$ $\rightarrow y^3$ (b) $15z^2 - 8zx$ $\rightarrow -8z$ (c) $- x -y+2$ $\rightarrow -1$ (d) $4+y+yx$ $\rightarrow y$ (e) $2 + x + xy^2$ $\rightarrow 1+y^2$ (f) $15x y^4 - 14$ $\rightarrow 15y^4$

6. নীচের বীজগাণিতিক পদগুলির মধ্যে সদৃশ পদগুলি আলাদা আলাদা ঘরে লিখি।

$2x, y, 12xy, 13y^2, - 5x, 18y, - 4xy, - 2y^2, 21x^2y, 3x, 3xy, - xy, - y, - 6x^2, - 15x^2$

• $x$ এর পদ: $2x, -5x, 3x$
• $y$ এর পদ: $y, 18y, -y$
• $xy$ এর পদ: $12xy, -4xy, 3xy, -xy$
• $y^2$ এর পদ: $13y^2, -2y^2, -15x^2$ (Note: $-15x^2$ is an $x^2$ term, not $y^2$)
• $x^2y$ এর পদ: $21x^2y$
• $x^2$ এর পদ: $-6x^2$

7. নীচের জোড়া পদগুলির মধ্যে কোনগুলি সদৃশ পদ ও কোনগুলি অসদৃশ পদ তা যুক্তি দিয়ে লিখি।

(a) $2x, 3y$ $\rightarrow$ অসদৃশ পদ, কারণ চলরাশি ভিন্ন। (b) $7x, 8x$ $\rightarrow$ সদৃশ পদ, কারণ চলরাশি ও তার ঘাত একই। (c) $- 29x, 6x$ $\rightarrow$ সদৃশ পদ, কারণ চলরাশি ও তার ঘাত একই। (d) $4xy, 6yz$ $\rightarrow$ অসদৃশ পদ, কারণ চলরাশি ভিন্ন। (e) $- 15yx, 8xy$ $\rightarrow$ সদৃশ পদ, কারণ চলরাশি $xy$ ও $yx$ একই। (f) $5xy, 6x^2y^2$ $\rightarrow$ অসদৃশ পদ, কারণ চলরাশির ঘাত ভিন্ন।

8. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় যে পদটিতে $x^2$ পদ আছে সেটি লিখি এবং $x^2$-এর সহগ লিখি।

(a) $5 - xy^2$ $\rightarrow$ $x^2$ পদ নেই। (b) $- 6x^2 - 8y$ $\rightarrow$ পদ: $-6x^2$, সহগ: $-6$ (c) $3x^2 - 15xy^2 - 8y^2$ $\rightarrow$ পদ: $3x^2$, সহগ: $3$ (d) $2 + 3x^2y + 4x$ $\rightarrow$ পদ: $3x^2y$ (not $x^2$), সহগ: $3y$ (e) $5 - 6x^2y^2 + 6xy$ $\rightarrow$ পদ: $-6x^2y^2$ (not $x^2$), সহগ: $-6y^2$

---

অধ্যায় : 6 গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

বাজারে যাই

7️⃣ আজ আমি ও দাদা বাজারে সবজি কিনতে যাব। আমরা প্রথমে 1 কিগ্রা. আলু ও 1 কিগ্রা. টম্যাটো কিনব।

1 কিগ্রা. টম্যাটোর দাম, 1 কিগ্রা আলুর চেয়ে 25 টাকা বেশি। যদি 1কিগ্রা. আলুর দাম $x$ টাকা হয়, তবে 1 কিগ্রা. টম্যাটোর দাম কত টাকা হবে হিসাব করি।

ধরি, 1 কিগ্রা. আলুর দাম $x$ টাকা। $\therefore$ 1 কিগ্রা. টম্যাটোর দাম $(x + 25)$ টাকা।

আমাদের 1 কিগ্রা আলু ও 1 কিগ্রা. টম্যাটো কিনতে মোট খরচ = $x$ টাকা + $(x + 25)$ টাকা = $(x + x + 25)$ টাকা

$(x + x + 25)$ কে কীভাবে যোগ করব?

দুটি $x$ যোগ করে $2x$ পাব। [$x + x = 1\times x + 1\times x= (1 + 1)x$ (বিচ্ছেদ নিয়ম অনুসারে) $= 2\times x = 2x$]

তাই, $(x + x + 25)$ টাকা = $(2x + 25)$ টাকা।

সুতরাং, 1 কিগ্রা. আলু ও 1 কিগ্রা. টম্যাটো কিনতে মোট খরচ পড়বে = $(2x + 25)$ টাকা।

8️⃣ 1 কিগ্রা. গাজরও কিনব। যদি 1 কিগ্রা. গাজরের দাম, 1 কিগ্রা. আলুর দামের চেয়ে 30 টাকা বেশি হয়, তবে মোট কত টাকা খরচ হবে হিসাব করি।

1 কিগ্রা. আলুর দাম $x$ টাকা। 1 কিগ্রা. গাজরের দাম হবে $(x + \boxed{30})$ টাকা।

সেক্ষেত্রে 1 কিগ্রা. আলু, 1 কিগ্রা. টম্যাটো ও 1 কিগ্রা. গাজর কিনতে মোট খরচ = {$(2x + 25) + (x + 30)$}$ টাকা

9️⃣ আমি $(2x + 25)$ ও $(x + 30)$ যোগ করি।

$2x$ ও $x$ মিলে অর্থাৎ ২টি $x$ ও 1টি $x$ মিলে হবে $3x$ [$2x+x = 2 \times x + 1\times x = (2+1) \times x$ (বিচ্ছেদ নিয়ম অনুসারে) $= 3\times x = 3x$]

---

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অধ্যায় : 6

আবার ধ্রুবক ($x$ বর্জিত পদ) 25 ও 30 যোগ করে পাব $25 + 30 = \boxed{55}$

সুতরাং পেলাম, $2x + 25 + x + 30$ $= (2x + x) + (25 + 30)$ $= 3x + 55$

$\therefore$ সেক্ষেত্রে আমাদের $(3x + 55)$ টাকা নিয়ে বাজারে যেতে হবে।

দেখছি, বীজগাণিতিক সংখ্যামালা $(2x + 25)$ ও $(x + 30)$ যোগ করার সময়, সদৃশ পদগুলি পাশাপাশি লিখে যোগ করব। তারপর অসদৃশ পদগুলির মধ্যে যোগ চিহ্ন দিয়ে যোগফল পাব।

1️⃣0️⃣ বাজারে সাইকেল চেপে গেলাম। সাইকেল জমা রাখার স্ট্যান্ডে গিয়ে দেখি অনেক সাইকেল রাখা আছে। এই অনেক সাইকেলের মোট চাকার সংখ্যা কত হতে পারে দেখি।

ধরি, সাইকেলের সংখ্যা $x$ 1টি সাইকেলের 2টি চাকা। $x$টি সাইকেলের $2\times x = 2x$ টি চাকা।

কিছু দূরে অনেক রিকশা সারি দিয়ে দাঁড়িয়ে আছে। 1টি রিকশার $\boxed{3}$ টি চাকা। $y$টি রিকশার $3\times y = 3y$ টি চাকা।

তাহলে, $x$টি সাইকেল ও $y$টি রিকশার মোট চাকার সংখ্যা = $(\boxed{2x} + \boxed{3y})$টি

$= (2x + 3y)$টি

দেখছি, $2x$ ও $3y$ পদ [$\boxed{\text{অসদৃশ}}$ সদৃশ/অসদৃশ]

কিন্তু $2x$ ও $3y$ যোগ করে কী পাব?

$2x$ ও $3y$ অসদৃশ পদ। তাই $2x$ ও $3y$ যোগ করে পাব $2x + 3y$

1️⃣1️⃣ বাজার থেকে বাড়ি ফিরে আমরা ঠিক করলাম, দাদা দুটি বা দুটির বেশি বীজগাণিতিক সংখ্যামালা লিখবে, আর আমি সেগুলি যোগ করার চেষ্টা করব।

দাদা লিখল, $2x, 3x, 11x$

---

অধ্যায় : 6 গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

$2x, 3x$ ও $11x$ যোগ করে পাই, $2x + 3x + 11x$

$= 2\times x + 3\times x + 11\times x$ $= (2 + 3 + 11)x \text{ [বিচ্ছেদ নিয়ম অনুযায়ী]}$ $= 16x$

1️⃣2️⃣ দাদা লিখল, $- 3x, - 10x, - 2x$ আমি যোগ করি,

$(- 3x) + (- 10x) + (-2x)$ $= (- 3 - 10)x + (-2x)$ $= (- 13x) + (-2x) = (- 13 - 2)x = - 15x$

দেখছি, বীজগাণিতিক রাশিমালার সদৃশ পদের যোগের সময়ে সদৃশপদের সংখ্যামূলক সহগের যোগ হয়।

1️⃣3️⃣ আমি $(2x + 3y) + (3x + y)$-এর মান খুঁজি।

$(2x + 3y) + (3x + y)$

$= (2x + 3x) + (3y + y) \text{ [সদৃশ পদগুলি আলাদা করলাম]}$ $= 5x + 4y$

1️⃣4️⃣ এবার $5x$ থেকে $2x$ বিয়োগ করি।

অর্থাৎ $5x - 2x$

$= (5\times x) - (2\times x)$ $= (5-2)\times x$ $= 3x$

1️⃣5️⃣ এবার { $(-9a) + (-2a) + 5a$ } যোগ করি।

$( - 9a) + (- 2a) + 5a$

$= (-9-2)a + 5a$ $= -11a + 5a$ $= (-11+5)a$ $= - 6a$

---

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অধ্যায় : 6

1️⃣6️⃣ $(5x^2 + 3x + 2)$ এবং $(x^2 - 2x + 1)$ যোগ করি।

$(5x^2 + 3x + 2) + (x^2 - 2x + 1)$

$= 5x^2 + 3x + 2 + x^2 - 2x + 1$ $= 5x^2 + \boxed{x^2} + 3x - \boxed{2x} + 2 + 1$ $= 6x^2 + x + 3$

1️⃣7️⃣ $(2a + 3b - 5)$ থেকে $(b + a)$ বিয়োগ করার চেষ্টা করি।

$(2a + 3b - 5) - (b + a)$ [$-(2 + 3) = -2 -3$ তাই, $-(b + a) = -b -a$]

$= 2a + 3b - 5 -b -a$ $= 2a - a + 3b - b - 5$ $= \boxed{a} + \boxed{2b} - 5$

হাতেকলমে

কাগজ কেটে $(2x^2 + 3x + 5) + (3x^2 + 4x + 6)$ কত হয় দেখি।

(1) প্রথমে অনেকগুলি পিচবোর্ড কাটলাম বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার টুকরো তৈরি করলাম। 2 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 2 সেমি. প্রস্থের কিছু বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড কাটলাম। এবার 2 সেমি. দৈর্ঘ্য ও1 সেমি. প্রস্থের কিছু আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড কাটলাম। তারপর 1 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 1 সেমি. প্রস্থের কিছু বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড কাটলাম।

2 সেমি. $\times$ 2 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডে সবুজ রঙের কাগজ আটকে দিলাম। 2 সেমি. $\times$ 1 সেমি. আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডে নীল রঙের কাগজ আটকে দিলাম। 1 সেমি. $\times$ 1 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডে লাল রঙের কাগজ আটকে দিলাম।

পরের পৃষ্ঠার ছবির মতো অনেকগুলি বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার সবুজ, নীল ও লাল পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করলাম।

---

অধ্যায় : 6 গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

ধরি, 1টি সবুজ বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $x^2$, 1টি নীল আয়তক্ষেত্রাকার কার্ড $x$ ও 1টি লাল বর্গক্ষেত্রাকার কার্ড $1$

(2) এই রঙিন পিচবোর্ডের টুকরোগুলি দিয়ে $(2x^2 + 3x + 5)$ সাজাই।

(3) এই পিচবোর্ডের রঙিন টুকরোগুলি দিয়ে $(3x^2 + 4x + 6)$ সাজাই

(4) এবার উপরের দুটি বীজগাণিতিক সংখ্যামালা যোগ করি। $2x^2 + 3x + 5$ ও $3x^2 + 4x + 6$-এ পাওয়া কাগজের টুকরোগুলি মিলিয়ে দিয়ে কী পাই দেখি –

(5) রঙিন পিচবোর্ডের টুকরোগুলি গুনে দেখছি, $\boxed{5}$ টি সবুজ বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড, $\boxed{7}$ টি নীল আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড ও $\boxed{11}$ টি লাল বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড পেলাম। এই রঙিন বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডগুলি যে বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে বোঝাচ্ছে তা হলো $5x^2 + 7x + 11$ এভাবে যেকোনো এক চল সংখ্যাযুক্ত বীজগাণিতিক সংখ্যামালার যোগ পিচবোর্ডের রঙিন কাগজ দিয়ে হাতেকলমে করতে পারি।

---

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অধ্যায় : 6

রঙিন পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার টুকরা দিয়ে হাতেকলমে বীজগাণিতিক সংখ্যামালা বিয়োগ করার চেষ্টা করি।

$(3x^2 + 2x - 4) - (x^2 - x + 3)$ কত হয় দেখি।

(1) প্রথমে অনেকগুলি 2 সেমি. $\times$ 2সেমি. মাপের বর্গক্ষেত্রাকার, 2সেমি. $\times$ 1 সেমি. মাপের আয়তক্ষেত্রাকার ও 1 সেমি. $\times$ 1 সেমি. মাপের বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করলাম।

(2) এই পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার কার্ডগুলোর একদিকে নীল ও উলটো দিকে লাল কাগজ আটকে দিলাম।

একদিকে নীল উলটো দিকে লাল

(3) 2সেমি. $\times$ 2সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার কার্ডের (1) নীল দিক $\rightarrow x^2$ (2) লাল দিক $\rightarrow -x^2$ 2সেমি. $\times$ 1সেমি. আয়তক্ষেত্রাকার কার্ডের (1) নীল দিক $\rightarrow x$ (2) লাল দিক $\rightarrow -x$ 1 সেমি. $\times$ 1 সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার কার্ডের (1) নীল দিক $\rightarrow 1$ (2) লাল দিক $\rightarrow -1$

(4) $(3x^2 + 2x - 4)$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে কার্ডের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

(5) $(x^2 - x + 3)$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে কার্ডের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

---

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া 📌

অধ্যায় : 6

রঙিন পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার টুকরো দিয়ে হাতেকলমে বীজগাণিতিক সংখ্যামালা বিয়োগ করার চেষ্টা করি।

$(3x^2 + 2x - 4) - ( x^2 - x + 3)$ কত হয় দেখি।

(1) প্রথমে অনেকগুলি $2$ সেমি. $\times 2$ সেমি. মাপের বর্গক্ষেত্রাকার, $2$ সেমি. $\times 1$ সেমি. মাপের আয়তক্ষেত্রাকার ও $1$ সেমি. $\times 1$ সেমি. মাপের বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করলাম।

(2) এই পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্রাকার ও আয়তক্ষেত্রাকার কার্ডগুলোর একদিকে নীল ও উলটো দিকে লাল কাগজ আটকে দিলাম।

(3) $2$ সেমি. $\times 2$ সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার কার্ডের (1) নীল দিক $\rightarrow x^2$ (2) লাল দিক $\rightarrow -x^2$ $2$ সেমি. $\times 1$ সেমি. আয়তক্ষেত্রাকার কার্ডের (1) নীল দিক $\rightarrow x$ (2) লাল দিক $\rightarrow -x$ $1$ সেমি. $\times 1$ সেমি. বর্গক্ষেত্রাকার কার্ডের (1) নীল দিক $\rightarrow 1$ (2) লাল দিক $\rightarrow -1$

(4) $(3x^2 + 2x - 4)$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে কার্ডের মাধ্যমে প্রকাশ করি।

(5) $(x^2 - x + 3)$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে কার্ডের মাধ্যমে প্রকাশ করি।


অধ্যায় : 6

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

(6) এবার বীজগাণিতিক সংখ্যামালার $(x^2 - x + 3)$কে $(3x^2 + 2x - 4)$ থেকে বিয়োগ করার জন্য $(x^2 - x + 3)$-এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালার কার্ডকে উলটে দিয়ে মিলিয়ে দিলাম।

মিলিয়ে পেলাম,

তাই হাতেকলমে পেলাম $(3x^2 + 2x - 4) - (x^2 - x + 3) = 2x^2 + 3x - 7$ এভাবে বীজগাণিতিক সংখ্যামালার বিয়োগ হাতেকলমে করা যাবে।

নিজে করি— 6.3

1. বীজগাণিতিক সংখ্যামালা $(2x^2 + x + 2)$ ও $(x^2 + 2x + 2)$ হাতেকলমে রঙিন কার্ড দিয়ে যোগ করি।

2. বীজগাণিতিক সংখ্যামালা $(5x^2 - 2x - 3)$ থেকে $(3x^2 + 3x - 2)$ হাতেকলমে রঙিন কার্ড দিয়ে বিয়োগ করি।

অন্যভাবে বীজগাণিতিক সংখ্যামালার যোগ ও বিয়োগ করার চেষ্টা করি।

18 $(5x + 2y)$ ও $(6x + 19y)$ যোগ করি।

$5x + 2y + 6x + 19y$ $= 5x + 6x + 2y + \boxed{19y}$ $= \boxed{11x} + 21y$

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া 📌

অধ্যায় : 6

আমরা আগে উপরে নীচে সংখ্যা বসিয়ে যোগ করেছি। বীজগাণিতিক সংখ্যামালার যোগ বিয়োগও কি উপরে নীচে পদ বসিয়ে করতে পারব?

বীজগাণিতিক সংখ্যামালার যোগ ও বিয়োগও উপরে নীচে পদ বসিয়ে করা যায়। সেক্ষেত্রে যেকোনো পদের নীচে তার সদৃশ পদ বসানো হয়।

  5x + 2y
+ 6x + 19y
-----------
যোগ করি, 11x + 21y

19 এবার $(2x - y + 3)$ ও $(8y - x - 1)$ যোগ করি।

$(2x - y + 3) + (8y - x - 1)$ $= 2x - x - y + 8y + 3 - 1$ $= \boxed{x} + \boxed{7y} + \boxed{2}$

অন্যভাবে পাই
  2x  - y +3
+ -x + 8y -1
-------------
যোগ করি,  x + 7y +2

20 আমি $(7x - 3y + 2z + 3)$ ও $(2x^2 + 5x - 4z + 1)$ যোগ করি।

$(7x - 3y+2z+ 3) + (2x^2 + 5x - 4z + 1)$ $= 7x + 5x + 2x^2 - 3y + 2z - 4z+3+1$ $= 12x + 2x^2 - 3y - 2z + 4$ $= 2x^2 + 12x - 3y - 2z + 4$

অন্যভাবে পাই,
   7x  - 3y + 2z +3
+ 2x^2+ 5x      - 4z + 1
-----------------------
যোগ করি, 2x^2+12x - 3y - 2z + 4

21 $(7x+3y)$ থেকে $(2x+5y)$ পাশাপাশি এবং উপরে নীচে সদৃশ পদ বসিয়ে কীভাবে বিয়োগ করব দেখি।

$(7x+3y)-(2x+5y)$ $= 7x+3y-2x-5y$ $= (7x-2x)+(3y-5y)$ $= 5x + (-2y)$ $= 5x - 2y$

অন্যভাবে পাই
  7x + 3y
- 2x + 5y
-----------
বিয়োগ করি, 5x - 2y

দেখছি, বিয়োগ করা বলতে বিপরীত সংখ্যার যোগ করা বোঝায়।

অর্থাৎ $7x$ থেকে $2x$ বিয়োগ করা বলতে $7x$-এর সাথে $2x$-এর বিপরীত সংখ্যা অর্থাৎ $-2x$-এর যোগ করা বোঝায়। $3y$ থেকে $5y$ বিয়োগ করা বলতে $3y$-এর সাথে $\boxed{-5y}$ এর যোগ বোঝায়। [নিজে করি]

অধ্যায় : 6

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

22 $(-9a+6b)$ থেকে $(7a -10b+c)$ বিয়োগ করার চেষ্টা করি।

$(-9a+6b)-(7a-10b+c)$ $= -9a+6b-7a+10b-c$ $= (-9a-7a)+6b+10b-c$ $= -16a +16b-c$

অন্যভাবে পাই,
  -9a + 6b
-  7a -10b+c
-------------
বিয়োগ করি, -16a +16b-c

23 $(2x^2-5xy+9y^2)$ থেকে $(3y^2-9yz+z^2)$ বিয়োগ করে বিয়োগফল কী পাব হিসাব করে দেখি।

$(2x^2-5xy+9y^2)-(3y^2-9yz+z^2)$ $= 2x^2-5xy+9y^2-3y^2+9yz-z^2$ $= 2x^2-5xy+6y^2+9yz-z^2$

অন্যভাবে পাই
  2x^2-5xy+9y^2
-          3y^2-9yz+z^2
--------------------------
বিয়োগ করি, 2x^2-5xy+6y^2+9yz-z^2

নিজে করি - 6.4

1. যোগ করি :

(i) $(-5x+3y)$ ও $(18x-15y)$ (ii) $(7a-8b+2c)$ ও $(2a+3b-d)$

2. বিয়োগ করি :

(i) $(4mn+m+n)$ থেকে $(-mn-m+n)$ (ii) $(p^2+q^2-pq+p^2q)$ থেকে $(2q^2+3p^2-qp+pq^2)$

কষে দেখি- 6.2

1. মনে মনে হিসাব করি : 🧠

(i) $5x + 3x$ (ii) $9y-3y$ (iii) $-4y +7y$ (iv) $-10x-2x$

(v) $3a + 4a -2a$ (vi) $-7x-2x + 5x$ (vii) $6p-2p+3p$ (viii) $4x^2-2x^2-3x^2+x^2$

(ix) $5a^2b-2a^2b-3a^2b+8a^2b$ (x) $3x^2-6x^2-2x^2-x^2+6x^2$

2. (a) আমার বয়স $x$ বছর। পল্লবী আমার থেকে $2$ বছরের বড়ো। আমাদের দুজনের মোট বয়স হিসাব করি।

(b) আজ আমি $x$ টি ফুলের মালা গেঁথেছি। মীর আমার গাঁথা মালার সংখ্যার দ্বিগুণের থেকে $6$টি বেশি মালা গেঁথেছে। আমি ও মীর দুজনে মোট কতগুলি ফুলের মালা গেঁথেছি হিসাব করি।

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া 📌

অধ্যায় : 6

(c) রাতুল আজকে $x$ টাকার পেয়ারা, $(x+15)$ টাকার আপেল, $(2x+3)$ টাকার শশা কিনল। রাতুল আজকে মোট কত টাকার ফল কিনল হিসাব করি।

(d) গতবছরে ফিরোজা $x$ দিন স্কুলে উপস্থিত ছিল। ফিরোজার বন্ধু মোহিনী $(3x+13)$ দিন স্কুলে উপস্থিত ছিল। গতবছরে স্কুলে মোহিনীর উপস্থিতি ফিরোজার চেয়ে কত বেশি ছিল হিসাব করি।

(e) দীপুদা আজ $(2x+19)$ টি কাগজ বিক্রি করেছে। কিন্তু গতকাল সে $(5x-8)$ টি কাগজ বিক্রি করেছিল। দীপুদা আজকের তুলনায় গতকাল কত বেশি কাগজ বিক্রি করেছিল হিসাব করি।

(f) পরেশবাবু প্রতি মাসে $8x$ টাকা আয় করেন। কিন্তু প্রতি মাসে তিনি $(3x-15)$ টাকা ব্যয় করেন। তিনি প্রতিমাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন হিসাব করি।

3. যোগ করি

(i) $3a+b$; $2a+4b$; $5a-b$ (ii) $5a-4$; $2a+3$; $2a-4$ (iii) $6a^2+7a+3$; $9a^2-2a+7$; $4a^2-2a+9$

(iv) $2a^2b+5b^2a+7$; $3a^2b-2b^2a+6$; $8a^2b-b^2a+9$, (v) $4xy+5x+7y$; $-4xy -y-3x$; $3xy-3y+2x$

4. বিয়োগ করি

(i) $(8x+6y)$ থেকে $(2x+3y)$ (ii) $(-3m^2+2m+2)$ থেকে $(m^2-2)$

(iii) $(2x+3y)$ থেকে $(8x+4y+7)$ (iv) $(-9a^2+3+2)$ থেকে $(5a^2+2a-1)$

(v) $x$ থেকে $(-2x^2+3y^2)$ (vi) $3x^2+5xy$ থেকে $2x^2+xy+3y^2$

5. সরল করি

(a) $17x^2y-3xy^2+14x^2y+2xy^2$ (b) $-5b+18+6b-2a$ (c) $4m^2+3n^2-(6m^2+7n^2)$

(d) $a-b-(b-a)$ (e) $(6p-4q+2r) + (2p+3q-4r)$ (f) $-x+y+z- (2x-3y+z)$

(g) $(x^2+2x-5)+(3x^2-8x+5)$ (h) $(7x^2-3x+3)-(2x^2-13x-7)$ (i) $6a-2b-ab-(3a+b-ab)+2ab-b+a$

6. রামুর $(13x^2+x-3)$ টাকা ছিল। সে $(4x^2-3x-12)$ টাকা খরচ করল। এখন হিসাব করে দেখি তার কাছে আর কত টাকা আছে।

7. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $(x+4)$ সেমি., $(2x+1)$ সেমি. ও $(4x-8)$ সেমি.। এই ত্রিভুজের পরিসীমা কত তা হিসাব করে দেখি।

8. $-8x^2+8x+1$-এর সাথে কত যোগ করলে $-14x^2+11x-3$ পাব হিসাব করি।

9. $-11x-7y-9z$-থেকে কত বিয়োগ করলে $-7x+3y-5z$ পাব হিসাব করি।

10. $(3x^2+4x)$ ও $(5x^2-x)$-এর যোগফল $(3x-5x^2)$-এর থেকে কত বেশি হিসাব করি।

11. $(5+9x)$ এবং $(6-7x+4x^2)$ এর যোগফল থেকে $(x^2-9x)$ এবং $(-2x^2+3x+5)$ এর যোগফল বিয়োগ করি।

অধ্যায় : 6

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

কাঠির সজ্জা দেখি

বর্গাকার চিত্রের সংখ্যা	1	2	3	4	5	6	........	n
দেশলাই কাঠির সংখ্যা	4$\times$1=4	4$\times$2=8	4$\times$3=12	....	4$\times$n=4n

দেখছি $n$ সংখ্যক বর্গাকার চিত্রের জন্য কাঠি লাগবে $4\times n$ টি $=4n$ টি যখন, $n =5$ অর্থাৎ $5$টি বর্গাকার চিত্রের জন্য প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা $= 4\times \boxed{5}$ টি $= \boxed{20}$ টি

কিন্তু $n = 100$ হলে অর্থাৎ $100$ টি বর্গাকার চিত্রের জন্য প্রয়োজনীর কাঠির সংখ্যা $= \boxed{4 \times 100}$ টি $= \boxed{400}$ টি

আকারের সংখ্যা	1	2	3	4	5	6	10	..........	x
দেশলাই কাঠির সংখ্যা	3	5	7						2x + 1

$x$ সংখ্যক $\boxed{}$ আকারের জন্য মোট দেশলাই কাঠি লাগবে $(2x + 1)$ টি। $x=6$ বসিয়ে $6$ টি $\boxed{}$ আকারের কাঠির জন্য প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা $= (2\times6+1)$টি $= 13$ টি $x=15$ বসিয়ে পাই $(2\times \boxed{15} + \boxed{1})$ টি

24 $5x+13$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালার মান খুঁজি যখন $x = -2$ $5\times(-2)+13=-10+13=3$

25 $(31-5x^2)$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালার মান খুঁজি যখন $x =2$ ও $5$ প্রথমে $31-5x^2$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $x = 2$ বসাই। $31-5x^2$ $= 31 - 5\times2^2 = 31-20 =11$

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া 📌

অধ্যায় : 6

আমি $31-5x^2$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় $x= -2$ বসাই।

$31-5x^2$ $= 31-5 \times(-2)^2$ $= 31-5 \times(-2) \times (-2)$ $=31-20$ $=11$

দেখছি $x$ এর মান $2$ বসালে $x^2$-এর মান যা হয়, আবার $x$-এর মান $-2$ বসালেও $x^2$ এর মান একই থাকে। তাই, যেকোনো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গ সর্বদাই $\boxed{\text{ধনাত্মক}}$

26 $(7x-2)$ এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালার মান খুঁজি যখন $x=-2$

$7x-2=7\times (-2) -2$ $=-14-2$ $=-16$

27 $12a^2+2ab+b^2$ ও $(a^3-b^3)$- এর মান খুঁজি যখন $a=1, b=3$

$12a^2+2ab+b^2$ $=12\times(1)^2 +2\times(1)\times (3)+(3)^2$ $=12+6+9 = 27$

$a^3-b^3=(1)^3-(3)^3$ $=1-27$ $= -26$

নিজে করি- 6.5

1. $x = 5$ হলে নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির মান বের করি।

(i) $6x+11$ (ii) $\frac{x}{5}+2$ (iii) $x^2+2x-1$ (iv) $x^3+8$ (v) $10-x$

2. $y=-3$ হলে নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির মান বের করি।

(i) $\frac{y+5}{4}$ (ii) $5-y$ (iii) $y+8$ (iv) $y^2+2y+3$ (v) $y^3-1$

3. নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির মান খুঁজি যখন $x=2$ ও $y= -1$

(i)$2x+7y$ (ii) $x^2+y^2$ (iii) $x^2+7xy+y^2$ (iv)$x^3-8y^3$ (v) $\frac{x}{9}+\frac{y}{4}$

অধ্যায় : 6

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

বোতামের সজ্জা 💡

আমি ও স্নেহা দুজনে আজ অনেক বোতাম নানারকমভাবে সাজাচ্ছি এবং পাশে স্তম্ভ ও সারিতে পাওয়া বোতাম সংখ্যা লিখছি।

এই সজ্জা দেখি

$\downarrow$

$7 \times n$-এর মান কী পাব?

$7 \times n = n+n+n+n+n+n+n=7n$ বুঝেছি, $5 \times n = n+n+n+n+n=5n$ $2 \times n = 2n$

এই সজ্জা দেখি

$\downarrow$

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া 📌

অধ্যায় : 6

আমাদের সাথে আরও $4$ জন বন্ধু এই মজার খেলায় যোগ দিল। আমি সকলের জন্য লজেন্স কিনব ঠিক করলাম।

এখন আমরা মোট ($\boxed{1} + \boxed{4}$) জন = $\boxed{5}$ জন

28 $6$ জনের জন্য লজেন্স কিনব। মোট কতটাকা লাগবে হিসাব করি ধরি, $1$ টি লজেন্সের দাম $x$ টাকা সেক্ষেত্রে $6$ টি লজেন্সের দাম হবে $6\times x$ টাকা $= \boxed{6x}$ টাকা $\dots 6x$ টাকা লাগবে

কিন্তু একটি লজেন্সের দাম $(x - 2)$ টাকা হলে (যেখানে $x>2$) $6$টি লজেন্স কিনতে কত টাকা লাগবে হিসাব করি।

$6$ টি লজেন্সের দাম হবে $6 \times (x - 2)$ টাকা $= 6(x - 2)$ টাকা

29 আবার $4$ প্যাকেট বিস্কুটও কিনব। $1$ প্যাকেট বিস্কুটের দাম $2x$ টাকা হলে মোট কত টাকা লাগবে হিসাব করি।

$1$ প্যাকেট বিস্কুটের দাম $2x$ টাকা $4$ প্যাকেট বিস্কুটের দাম $4 \times 2x$ টাকা।

$4 \times 2x$ টাকা = কত টাকা?

$4 \times 2x = (2x + 2x + 2x + 2x)$ টাকা $= 8x$ টাকা আবার $4 \times 2x = 4 \times 2 \times x = 8x$ টাকা

যদি, $1$ প্যাকেট বিস্কুটের দাম $3x$ টাকা হয়, তাহলে $4$ প্যাকেট বিস্কুটের দাম হবে $4 \times 3x$ টাকা $= 4 \times 3 \times x$ টাকা $= 12x$ টাকা

$[ 4 \times 3x = 3x + 3x + 3x + 3x = 12x]$

30 আমি যদি বোতাম ছাড়া একটি আয়তক্ষেত্র আঁকি যার প্রস্থ $3x$ সেমি. ও দৈর্ঘ্য $4x$ সেমি., তবে এই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে দেখি

ক্ষেত্রফল $= 3x \times 4x$ বর্গসেমি. $= 3\times4\times x \times x$ বর্গসেমি. $= 12x^2$ বর্গসেমি.

31 $3x \times (- 5xy)$ কি হয় দেখি।

$3x \times (- 5xy) = 3 \times (-5)\times x \times x \times y$ $= - 15x^2y$ $= - 15x^2y$

32 $5x \times 2x^2y \times 2y$ কি হয় দেখি।

$5x \times 2x^2y \times 2y = 5 \times 2 \times 2 \times x \times x^2 \times y \times y$ $= 20x^{1+2}y^{1+1}$ $= 20x^3y^2$

অধ্যায় : 6

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

নিজে করি- 6.6

1. প্রতিক্ষেত্রে গুণফল বের করি।

(i) $7, 2x$ (ii) $- 3x, 4x$ (iii) $- 2x, - 3x^2$ (iv) $7x, 0$ (v) $3ab, 4ac$ (vi) $8x^2, 2y^2$ (vii) $2a^2b, 3ab^2$ (viii) $(- 4xy), (- 4xy)$

2. প্রথম একপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দ্বিতীয় একপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দিয়ে গুণ করে ফাঁকা ঘরে গুণফল লিখি।

| | দ্বিতীয় একপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা | | প্রথম একপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা | $\rightarrow$ | $2x$ | $- 6x^2$ | $-4xy$ | | $\downarrow$ | গুণফল | | $3x$ | $6x^2$ | $-18x^3$ | $-12x^2y$ | | $-4x$ | $-8x^2$ | $24x^3$ | $16x^2y$ | | $7x$ | $14x^2$ | $-42x^3$ | $-28x^2y$ |

33 বাবা আমাদের জন্য $4$টি পেন কিনে এনেছেন। প্রতি পেনের দাম $5$ টাকা। আমি বন্ধুদের জন্য ওই একই রকম পেন আরও দুটি কিনে আনলাম। হিসাব করে দেখি আমি ও বাবা মোট কত টাকার পেন কিনলাম।

বাবা $4$টি পেন কিনলেন $(5\times4)$ টাকায় = $\boxed{20}$ টাকায় আমি $2$টি পেন কিনলাম $(5\times2)$ টাকায় = $\boxed{10}$ টাকায় পেন কিনতে আমাদের মোট খরচ হয়েছে {(5\times4) + (5\times2)} টাকা $= (\boxed{20} + \boxed{10})$ টাকা = $\boxed{30}$ টাকা।

অন্যভাবে দেখছি, আমি ও বাবা দুজনে মোট পেন কিনেছি $\boxed{4} + \boxed{2}$টি = $6$টি

$1$টি পেনের দাম $5$ টাকা। আমার ও বাবার পেন কিনতে মোট খরচ হয়েছে $= 5 \times (4 + 2)$ টাকা $= 5\times6$ টাকা $= 30$ টাকা

হাতেকলমে

$\therefore 5(4 + 2) = 5\times4 + 5\times2$

কাগজ কেটে হাতেকলমে করি $5(4 + 2) = 5\times4 + 5\times2$

(1) তিনটি সরলরেখাংশ আঁকি যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $5$ সেমি., $4$ সেমি. ও $2$ সেমি. এবং ওই সরলরেখাংশগুলিকে চিহ্নিত করি যথাক্রমে $a, b, c$ দিয়ে।

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া 📌

অধ্যায় : 6

(2) একটি আয়তাকার চিত্র ABCD আঁকি যার AD বাহর দৈর্ঘ্য $a$ সেমি. ও AB বাহর দৈর্ঘ্য $(b + c)$ সেমি.।

(3) এবার এই নীল রঙের পিচবোর্ডের বিপরীত দিকে APQD অঞ্চলটি নীল রং করলাম ও PQCB অঞ্চলটি লাল রং করলাম।

অধ্যায় : 6

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

34 আমি $2$টি খাতা কিনলাম। প্রতি খাতার দাম $x$ টাকা। আমার বন্ধু ইমতিয়াজও $6$টি খাতা কিনল। কিন্তু ইমতিয়াজের প্রতিটি খাতার দাম আমার খাতার দামের থেকে $5$ টাকা বেশি। আমি মোট কত টাকার খাতা কিনলাম ও ইমতিয়াজ মোট কত টাকার খাতা কিনল হিসাব করি।

আমার $2$টি খাতার দাম $\boxed{2} \times \boxed{x}$ টাকা $= 2x$ টাকা ইমতিয়াজের প্রতিটি খাতার দাম আমার খাতার দামের থেকে $5$ টাকা বেশি। তাই, ইমতিয়াজের $1$টি খাতার দাম $(x + 5)$ টাকা। ইমতিয়াজের $6$টি খাতার দাম $6\times(x + 5)$ টাকা $= (6x + 30)$ টাকা।

কিন্তু সুমির $1$টি খাতার দাম আমার খাতার দামের থেকে $2$ টাকা কম। আমার $1$টি খাতার দাম $x$ টাকা। তাই, সুমির $1$ টি খাতার দাম $(x - 2)$ টাকা। সুমি $3$টি খাতা কিনেছে। $3$টি খাতার মোট দাম $= \boxed{3} \times (x - 2)$ টাকা। $= (3x - 6)$ টাকা।

এখন আমার, ইমতিয়াজ ও সুমির খাতার মোট দাম $(\boxed{2x} + \boxed{6x+30} + \boxed{3x-6})$ টাকা $= \boxed{11x+24}$ টাকা (নিজে করি)

35 আজ আমাদের স্কুলের প্রতিষ্ঠা দিবস। পঞ্চম শ্রেণির ছাত্রছাত্রীদের প্রত্যেককে $5$ টাকার পেনসিল ও রবার দেওয়া হয়েছে। ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীদের প্রত্যেককে $10$ টাকার পেনসিল কম্পাস দেওয়া হয়েছে। আজ পঞ্চমশ্রেণিতে $x$ জন ছাত্রছাত্রী এসেছে। কিন্তু ষষ্ঠশ্রেণিতে পঞ্চম শ্রেণির চেয়ে $৪$ জন কম এসেছে।

হিসাব করে দেখি কত টাকার পেনসিল ও রবার কেনা হলো। আবার কত টাকার পেনসিল কম্পাস কেনা হলো।

পঞ্চমশ্রেণির ছাত্রছাত্রী $x$ জন। ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্রছাত্রী $\boxed{x-8}$ জন $x$ জনের প্রত্যেককে $5$ টাকার পেনসিল ও রবার দিলে মোট খরচ হয় $= \boxed{x} \times \boxed{5}$ টাকা $= 5x$ টাকা।

$(x - ৪)$ জনের প্রত্যেককে $10$ টাকার পেনসিল কম্পাস দিলে মোট খরচ হয় $= \boxed{x-8} \times \boxed{10}$ টাকা $= \boxed{10x-80}$ টাকা

---

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

অধ্যায় : 6

36 নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুণ করে গুণফল কী হয় দেখি।

(i) $5x \times (x+2)$ (v) $4l(l^2+ml+n)$

(ii) $-2x(3-x)$ (vi) $x^2(a^2+x^2y+yx^2)$

(iii) $(7x+2)2x$ (iv) $b^3(a^2-2ab)$

37 $3x(4-2x)-2(x-5)$ -এর সরলতম মান খুঁজি

$3x(4-2x)-2(x-5)$ $= 3x \times 4 - 3x \times 2x - 2x + 10$ $= 12x - 6x^2 - 2x + 10$ $= 12x - 2x - 6x^2 + 10$ $= 10x - 6x^2 + 10$ $= -6x^2 + 10x + 10$

38 $a(2a+b-3c)$ ও $4a (2c-a)$ যোগ করি

$a(2a+b-3c)+4a(2c-a)$ $= 2a^2 + ab - 3ac + 8ac - 4a^2$ $= 2a^2 - 4a^2 + ab + 5ac$ $= -2a^2 + ab + 5ac$

নিজে করি– 6.7

1. প্রতিক্ষেত্রে গুণ করে গুণফল নির্ণয় করি

(i) $ab,(a^2-b^2)$ (v) $0, (ab+bc-ca)$

(ii) $4a,(a+b-c)$

(iii) $6a^2b^2,(2a+b)$

(iv) $xyz,(x^2y-y^2x+z^2y)$

2. সরল করি

(i) $7x(2x+3)-5x(3x-4)$ (iv) $7a - 2 (5a+6b-7)$

(ii) $x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)$

(iii) $2x-6x(5-8x-3y)$

অধ্যায় : 6

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

দ্বিপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দ্বিপদী বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দিয়ে গুণ

39 পঞ্চম শ্রেণির $x$ জনের প্রত্যেককে $y$ টি বই দেওয়া হয়েছে। কিন্তু ষষ্ঠ শ্রেণিতে $x$ জনের প্রত্যেককে $(y+3)$ টি বই দেওয়া হচ্ছে। আবার সপ্তম শ্রেণিতে $(x+11)$ জনের প্রত্যেককে $(y+10)$ টি বই দেওয়া হচ্ছে।

হিসাব করে দেখি পঞ্চম, ষষ্ঠ ও সপ্তম শ্রেণির প্রত্যেক শ্রেণিতে মোট কত বই দেওয়া হলো এবং তিনটি শ্রেণি মিলিয়ে মোট কত বই দেওয়া হলো।

পঞ্চম শ্রেণিতে মোট বই দেওয়া হয়েছে $\boxed{x} \times \boxed{y}$ টি = $\boxed{xy}$ টি

ষষ্ঠ শ্রেণিতে মোট বই দেওয়া হয়েছে $x(y+3)$টি = $\boxed{xy+3x}$ টি

সপ্তম শ্রেণিতে মোট বই দেওয়া হয়েছে $(y+10)(x+11)$ টি $= \{y(x+11)+10(x+11)\}$ টি $= (yx+11y+10x+110)$টি

$\therefore$ তিনটি শ্রেণিতে মোট বই দেওয়া হয়েছে $(xy+xy+3x+xy+11y+10x+110)$টি, $[xy = yx]$ $= (3xy+13x+11y+110)$টি

40 $(3x+2y) \times (4x+3y)$ কত হয় দেখি।

$(3x+2y) \times (4x+3y)$ $= 3x(4x+3y)+2y(4x+3y)$ $= 12x^2+9xy+8xy+6y^2$ $= 12x^2+17xy+6y^2$

41 $(7x^2-y^2) \times (x - y)$ কত হয় দেখি।

$(7x^2-y^2) \times (x - y)$ $= 7x^2(x - y)-y^2(x - y)$ $= 7x^2 \times x - 7x^2 \times y - (y^2 \times x - y^2 \times y)$ $= 7x^3-7x^2y-xy^2+y^3$

42 $(2x+3y)$ কে $(x+y-z)$ -দিয়ে গুণ করার চেষ্টা করি।

$(2x+3y) \times (x+y-z)$ $= 2x(x+y-z)+3y(x+y-z)$ $= \boxed{2x^2} + \boxed{2xy} - \boxed{2xz} + \boxed{3xy} + \boxed{3y^2} - \boxed{3yz}$ $= 2x^2+5xy-2xz+3y^2-3yz$

43 $(3a+2b)$ কে $(a-b-c)$ -দিয়ে গুণ করার চেষ্টা করি।

$(3a+2b) \times (a-b-c)$ $= 3a(a-b-c)+2b(a-b-c)$ $= \boxed{3a^2} - \boxed{3ab} - \boxed{3ac} + \boxed{2ab} - \boxed{2b^2} - \boxed{2bc}$ $= 3a^2-ab-3ac-2b^2-2bc$

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

অধ্যায় : 6

নিজে করি- 6.8

1. গুণ করি:

(i) $(10-3x)(7+x)$ (ii) $(11+2x)(8-2y)$ (iii) $(a+by)(4a-6y)$ (iv) $(2x^2y-y^2)(3x-5y)$ (v) $(-\frac{2}{3}x-\frac{3}{5}y)(\frac{2}{3}x-\frac{3}{5}y)$ (vi) $(\frac{2}{9}a^2-\frac{1}{7}b^2)(\frac{3}{5}a-\frac{2}{5})$

ফাঁকা ঘর পূরণ করি:

$5x \times 6y=30xy$
$30xy \div 5x= \boxed{6y}$
$30xy \div 6y= \boxed{5x}$

সমান ভাগ করি

$2a \times 3b= \boxed{6ab}$
$6ab \div 2a= \boxed{3b}$
$6ab \div 3b= \boxed{2a}$

$4x^2 \times (-2x)=-8x^3$
$-8x^3 \div (-2x) = \boxed{4x^2}$
$-8x^3 \div 4x^2 = \boxed{-2x}$

$(-8a) \times (-3b)= \boxed{24ab}$
$24ab \div (-8a) = \boxed{-3b}$
$24ab \div (-3b) = \boxed{-8a}$

44 নাসরিন, সাবির, শোভা ও পরাণ আজ $4$ ঝুড়ি আম সমান ভাগে ভাগ করে নেবে।

প্রথমে গুণে দেখি প্রতি ঝুড়িতে কতগুলো আম আছে?

যদি প্রতি ঝুড়িতে $x$ সংখ্যক আম থাকে, তবে $4$টি ঝুড়িতে মোট আম আছে $4 \times x$ টি = $\boxed{4x}$ টি।

তারা $4$ জনে সমান ভাগে ভাগ করে নিলে প্রত্যেকে পাবে $(8x \div 4)$ টি $= 2x$ টি করে আম।

$\frac{2^3}{2^2} = \frac{2 \times 2 \times 2}{2 \times 2} = 2$ $2^3 \div 2^2 = 2^{3-2} = 2^1 = 2$

কিন্তু যদি $8x$ সংখ্যক আম সমান $x$ ভাগে ভাগ করি যখন $x \ne 0$ ($\ne$ সমান নয় চিহ্ন অর্থাৎ অসমান)

$8x$ সংখ্যক আমকে সমান $x$ ভাগে ভাগ করলে প্রতি ভাগে পাই,

$8x \div x = \frac{8x}{x} = 8x^{1-1} = 8x^0 = 8$

অন্যভাবে, $\frac{8x}{x} = 8$

$\frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x^1 = x$ (যেখানে, $x \ne 0$)

$x^0 = 1$ যখন $x \ne 0$ [সংজ্ঞা থেকে পাই]

অধ্যায় : 6

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

আমরা জানি যে, (যেকোনো সংখ্যা) $\times 0 = 0$

$0 \div$ (শূন্য ছাড়া যেকোনো সংখ্যা) $= 0$

$5 \div 0$ এবং $0 \div 0$ কী হবে দেখি?

দেখছি $5–0 = 5–0 = 5–0 = 5.....$ অর্থাৎ $5$ থেকে বারবার $0$ বাদ দিয়েও $5$ কে $0$ তে পরিণত করা যাচ্ছে না। তাই এখানে ভাগফল পাওয়া যাচ্ছে না। তাই $5 \div 0$ অসংজ্ঞাত।

আবার দেখছি $0$ থেকে একবার $0$ বিয়োগ করলে $0$ হয়; $0$ থেকে দু-বার $0$ বিয়োগ করলে $0$ হয় ; $0$ থেকে তিনবার $0$ বিয়োগ করলে $0$ হয়। এইভাবে $0$ থেকে যেকোনো সংখ্যক বার $0$ বিয়োগ করলে $0$ হয়। তাই এখানে $1, 2, 3, ...$ যেকোনো সংখ্যাই ভাগফল হতে পারে। তাই $0 \div 0$ অসংজ্ঞাত।

45 $8x$-কে $x^2$ দিয়ে ভাগ করি (যেখানে, $x \ne 0$)

$8x \div x^2 = \frac{8x}{x^2} = 8x^{1-2} = 8x^{-1} = \frac{8}{x}$

$\frac{8x}{x^2} = \frac{8}{x}$

অন্যভাবে পাই,

$x^{-1} = x^{0-1} = \frac{x^0}{x^1} = \frac{1}{x}$ (যেখানে, $x \ne 0$)

46 আমি নীচের ভাগগুলি করার চেষ্টা করি:

(i) $9a^3 \div a^2$ (ii) $-13xy^2 \div 2y^2$ (iii) $(-25x^2pq^2) \div (-5pq)$ (iv) $15xyz \div (-15xyz)$

(i) $9a^3 \div a^2 = \frac{9a^3}{a^2} = 9a^{3-2} = 9a$

(ii) $-13xy^2 \div 2y^2 = \frac{-13xy^2}{2y^2} = \frac{-13}{2}x y^{2-2} = \frac{-13}{2}x y^0 = \frac{-13}{2}x$

অন্যভাবে পাই,

$\frac{-13xy^2}{2y^2} = \frac{-13}{2}x$

(iii) $-25x^2pq^2 \div (-5pq) = \frac{-25x^2pq^2}{-5pq} = 5x^{2-1}p^{1-1}q^{2-1} = 5x^1p^0q^1 = 5xq$

অন্যভাবে পাই,

$\frac{-25x^2pq^2}{-5pq} = 5xq$

(iv) $15xyz \div (-15xyz) = \frac{15xyz}{-15xyz}$

$= -1 x^{1-1} y^{1-1} z^{1-1} = -1 x^0 y^0 z^0 = -1$

অন্যভাবে পাই,

$\frac{15xyz}{-15xyz} = -1$

[ প্রতিক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যা $a, x, y, z, p$ ও $q$ কারও মান শূন্য নয়।]

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

অধ্যায় : 6

নতুন আলমারিতে বই সাজিয়ে রাখি

47 আমার বই রাখার পুরোনো আলমারিতে $6$টি তাক আছে। প্রতি তাকে $x$টি করে বই আছে। আজ আমি ঠিক করেছি, 'এই পুরোনো আলমারির সব বই ও আর $15$টি বই নতুন আলমারির $3$টি তাকে সমান ভাগে ভাগ করে সাজিয়ে রাখব।'

হিসাব করে দেখি নতুন আলমারির প্রতি তাকে কতগুলি বই রাখব।

পুরোনো আলমারির, $1$টি তাকে বই আছে $x$টি $6$টি তাকে মোট বই আছে $6 \times x$টি = $6x$টি।

নতুন আলমারিতে বই রাখব $(6x + 15)$ টি বই।

নতুন আলমারির $3$টি তাকে $(6x + 15)$টি বই সমান ভাগে ভাগ করে সাজিয়ে রাখলে প্রতি তাকে রাখব $\{(6x + 15) \div 3\}$ টি বই।

$\therefore \{(6x + 15) \div 3\}$ -কী পাব?

$(6x + 15) \div 3 = \frac{6x + 15}{3} = \frac{1}{3} (6x + 15)$ $= \frac{1}{3} \times 6x + \frac{1}{3} \times 15$ [বিচ্ছেদ নিয়ম] $= 2x + 5$

$\therefore$ নতুন আলমারির প্রতি তাকে $(2x + 5)$টি করে বই রাখব।

48 $(6x + 15)$-কে $3x$ দিয়ে ভাগ করি।

$(6x + 15) \div 3x = \frac{6x + 15}{3x}$ $= \frac{6x}{3x} + \frac{15}{3x}$ $= \boxed{2} + \frac{\boxed{5}}{\boxed{x}}$

49 $(8x^3 + 7x^2 + x^2y)$ কে $2x^2$ দিয়ে ভাগ করি।

$(8x^3 + 7x^2 + x^2y) \div 2x^2$ $= \frac{8x^3 + 7x^2 + x^2y}{2x^2}$ $= \frac{8x^3}{2x^2} + \frac{7x^2}{2x^2} + \frac{x^2y}{2x^2}$ $= 4x^{3-2} + \frac{7}{2}x^{2-2} + \frac{1}{2}x^{2-2}y$ $= \boxed{4x} + \boxed{\frac{7}{2}} + \boxed{\frac{1}{2}y}$

অধ্যায় : 6

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

50 $(-90a^2b^2 + 80a^3b^3 - 50a^4b^4)$-কে $10a^3b$ দিয়ে ভাগ করি ।

$= \frac{-90a^2b^2 + 80a^3b^3 - 50a^4b^4}{10a^3b}$

$= \frac{-90a^2b^2}{10a^3b} + \frac{80a^3b^3}{10a^3b} - \frac{50a^4b^4}{10a^3b}$

$= (-9a^{2-3}b^{2-1}) + (8a^{3-3}b^{3-1}) - 5a^{4-3}b^{4-1}$ $= -9a^{-1}b + 8ab^2 - 5ab^3$ $= -\frac{9b}{a} + 8b^2 - 5ab^3$

[ প্রতিক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যা $a, b,x, y$ কারও মান শূন্য নয়।]

কষে দেখি- 6.3

1. মনে মনে হিসাব করি:

(i) $3a \times 4b = \boxed{12ab}$ (ii) $12ab \div 3a= \boxed{4b}$ (iii) $12ab \div \boxed{3b} = 4ab$ (iv) $(-x^2) \times x = \boxed{-x^3}$ (v) $9x^2 \div 3x^2 = \boxed{3}$ (vi) $x^2 \times x^2=\boxed{x^4}$ (vii) $x^2 \times \boxed{1/x^2} = 1$ (viii) $0 \div ab= \boxed{0}$ (ix) $4a^2b^2c^2 \times \boxed{0} = 0$ (x) $3ab \div \boxed{3b} = a$ (xi) $x^0 \times y = \boxed{y}$ (xii) $x \div 0=\boxed{\text{অসংজ্ঞাত}}$

2. গুণ করি :

(a) $2x^2 \times (-3y) \times 6z$ (b) $7xy^2 \times 8x^2y \times xy$ (c) $(-3a^2) \times (4a^2b) \times (-2)$ (d) $(-2mn) \times \frac{1}{6}m^2n^2 \times 13m^4n^4$ (e) $\frac{2}{3}x^2y \times \frac{3}{5}xy^2$ (f) $(-\frac{18}{5}x^2z) \times (-\frac{25}{6}xz^2y)$ (g) $(-\frac{3}{5}s^2t) \times (\frac{15}{7}st^2u) \times (\frac{7}{9}su^2)$ (h) $(\frac{4}{3}x^2yz) \times (\frac{1}{3}y^2zx) \times (-6xyz^2)$ (i) $4a (3a +7b)$ (j) $8a^2 \times (2a + 5b)$ (k) $-17x^2 \times (3x - 4)$ (l) $\frac{2}{3}abc \times (a^2 + b^2 - 3c^2)$ (m) $2 \times 5x (10x^2y - 100xy^2)$ (n) $(2x+3y) (5x - y)$ (o) $(a^2-b^2) (2b - 6a)$ (p) $(x + 2) (3x + 1)$

[ প্রতিক্ষেত্রে বীজগাণিতিক সংখ্যা $x, y, z, a, b, c, m, n, s, t$ ও $u$ কারও মান শূন্য নয়।]

বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া

অধ্যায় : 6

3. (i) সীমা প্রতি সারিতে $3x$ টি চারাগাছ লাগিয়েছে। এইরকম $2x$টি সারিতে সীমা কতগুলি চারাগাছ লাগিয়েছে হিসাব করি।

(ii) একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $(4x + 1)$মিটার এবং প্রস্থ $3x$ মিটার। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হিসাব করি।

(iii) এখন $1$ ডজন কলার দাম আগের থেকে $6$ টাকা বেড়েছে। আগে $1$ ডজন কলার দাম $x$ টাকা থাকলে, এখন $2x$ ডজন কলা কিনতে কত টাকা লাগবে হিসাব করি।

(iv) একটি বর্গাকার ক্ষেত্রের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য $7x$ সেমি. হলে, বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত দেখি।

(v) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $8x^2$ বর্গ একক। দৈর্ঘ্য $4x$ একক হলে, প্রস্থ কত হতে পারে হিসাব করি।

(vi) সুশোভন $9y$ দিনে $729y^4$ টি ঘুড়ি বিক্রি করেছে। সে গড়ে প্রতিদিন কতগুলি ঘুড়ি বিক্রি করেছে হিসাব করি।

[ প্রতিক্ষেত্রে কোনো বীজগাণিতিক সংখ্যার মান শূন্য নয়।]

4. প্রথম বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে দ্বিতীয় বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দিয়ে ভাগ করি।

(i) $8x^3b, x^2b$ (ii) $-9xy^3, xy$ (iii) $-15x^2y^4z^2, -x^2yz^2$ (iv) $21l^3m^3n^3, -4l^4mn$ (v) $(5a^2 - 7ab^2), a$ (vi) $(-48x^6 + 12x^5), 3x^3$ (vii) $15m^2n+ 20m^2n^2, 5mn$ (viii) $36a^5b^2 - 24a^2b^5, -4a^2b^2$ (ix) $3pqr+6p^2qr^2 - 9p^3q^2r^3, -3pqr$ (x) $m^2n^4+ m^3n^3 - m^4n^2, -m^4n^4$

[ প্রতিক্ষেত্রে কোনো বীজগাণিতিক সংখ্যার মান শূন্য নয়।]

5. সরল করি:

(i) $a (b - c) + b (c - a) + c (a - b)$ (ii) $a (b - c) - b (c - a) - c (a - b)$ (iii) $x (x + 4) + 2x (x - 3) - 3x^2$ (iv) $3x^2 + x (x + 2) - 3x (2x + 1)$ (v) $(a + b) (a - b) + ( b + c) (b - c) + (c + a) (c - a)$ (vi) $(a^2 + b^2) (a^2-b^2) + (b^2 + c^2) (b^2 - c^2) + (c^2 + a^2) (c^2 - a^2)$