8. ত্রিভুজ অঙ্কন 📐\n\n\n\nআজ আমি, রেশমি, বনলতা, সাব্বা ও রফিক সবাই মিলে ঠিক করেছি নির্দিষ্টমাপের ত্রিভুজ আঁকব ও ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রে রং করব। আগে আমরা যেমন খুশি নানান মাপের কাগজ কেটে ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র তৈরি করি।\n\nআজ আমি ত্রিভুজের বাহু ও কোণের আলাদা আলাদা মাপ বলে দেব। আমার বন্ধুরা সেই মাপের ত্রিভুজ তৈরির চেষ্টা করবে। ত্রিভুজের বাহুর সংখ্যা $\boxed{\hspace{1cm}}$ টি ও কোণ $\boxed{\hspace{1cm}}$ টি।\n\nত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সেমি. (cm), 6 সেমি. ও 7 সেমি.। ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি অর্থাৎ ABC একটি ত্রিভুজ আঁকি যার AB = 6 সেমি., BC = 5 সেমি. ও CA = 7 সেমি.।\n\n

\n\nB\n6 সেমি.\n5 সেমি.\nC\n7 সেমি.\n

\n\n> 📌 শুধুমাত্র স্কেল ও পেনসিল দিয়ে খসড়া ছবি এঁকে দেখি কোথায় কোন বিন্দু লিখব\n\n* এবার স্কেল, পেনসিল ও কম্পাস দিয়ে নিখুঁতভাবে ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি।\ni) স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে 5 সেমি., 6 সেমি. ও 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের তিনটি সরলরেখাংশ আঁকলাম।\n\n 5 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n\n 6 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n\n 7 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n\n

\n\n\nii) একটি রশ্মি AX আঁকলাম। AX রশ্মির A বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তচাপ কেটে AC সরলরেখাংশ পেলাম।\n

\n\nA $\rule{3cm}{0.5pt}$ C $\rule{1cm}{0.5pt}$ X\n7 সেমি.\n\n\n\n### অধ্যায় : ৪\n#### গণিতপ্রভা -- সপ্তম শ্রেণি\n\n

\n\n\niii) A বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। এই বৃত্তচাপের উপরে কোথাও B বিন্দু আছে (এই B বিন্দু খোঁজাই এখন প্রধান কাজ)।\n

\n\nA $\rule{3cm}{0.5pt}$ C $\rule{1cm}{0.5pt}$ X\n7 সেমি.\n\n

\n\n\niv) এবার C বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে আর একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম। এই বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে B বিন্দুতে ছেদ করেছে।\n

\n\n

\n\n\nv) স্কেলের সাহায্যে A, B এবং B, C বিন্দুগুলি যোগ করে ত্রিভুজ ABC পেলাম। যার AB = 6 সেমি., BC = 5 সেমি. এবং AC = 7 সেমি.।\n

\n\nA $\rule{3cm}{0.5pt}$ C $\rule{1cm}{0.5pt}$ X\n7 সেমি.\n\n
\n\n

\n\nD\n5 সেমি.\n7 সেমি.\nE\nF\n6 সেমি.\n

\n\nসাব্বাও স্কেল ও কম্পাসের সাহায্যে DEF অন্য একটি ত্রিভুজ আঁকল যার DE = 5 সেমি. EF = 6 সেমি. ও FD = 7 সেমি.। আমি △DEF কেটে △ABC-এর উপর বসিয়ে দেখছি সম্পূর্ণ মিলে যাচ্ছে [নিজে করি]।\n\n💡 সুতরাং দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলি সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সম্পূর্ণভাবে মিলে যায় অর্থাৎ ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যগুলি নির্দিষ্ট হলে ত্রিভুজটিও নির্দিষ্ট হবে।\n\n\n\n### ত্রিভুজ অঙ্কন\n#### অধ্যায় : ৪\n\n## ②\n\nআমি 3 সেমি., 4 সেমি. ও 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ নিয়ে ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি।\n3 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n4 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n8 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n\n

\n\nদেখছি, A ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 3 সেমি. ও 4 সেমি. ব্যাসার্ধের বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে ছেদ করছে না।\n

\n\nA $\rule{3cm}{0.5pt}$ C\n3 সেমি. $\quad$ 4 সেমি.\n$\rule{4cm}{0.5pt}$\n8 সেমি.\n\nআমি 5 সেমি., 6 সেমি. ও 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ নিয়ে ত্রিভুজ আঁকতে পেরেছি। এক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতর বাহুদুটির দৈর্ঘ্য হলো 5 সেমি. ও 6 সেমি. এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য 7 সেমি.।\nআবার $5 \text{ সেমি.} + 6 \text{ সেমি.} = 11 \text{ সেমি.} > 7 \text{ সেমি.}$\n\nআবার দেখলাম 3 সেমি., 4 সেমি. ও 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ নিয়ে ত্রিভুজ আঁকতে পারলাম না। এক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতর বাহুদুটির দৈর্ঘ্য হলো 3 সেমি. ও 4 সেমি. এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.।\nআবার $3 \text{ সেমি.} + 4 \text{ সেমি.} = 7 \text{ সেমি.} < 8 \text{ সেমি.}$\n\n💡 তাই দেখলাম ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতর বাহু দুটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে বড়ো হলে তবেই ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।\n\n### কষে দেখি - 8.1 📝\n\n1. ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। যেখানে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব সেখানে ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি ও যেখানে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয় কারণ দেখাই।\n i) 4 সেমি., 5 সেমি. ও 7 সেমি.\n ii) 9 সেমি., 4 সেমি. ও 4 সেমি.\n iii) 6 সেমি., 8 সেমি. ও 10 সেমি.\n2. ABC একটি ত্রিভুজ আঁকি যার AB = 5.5 সেমি. BC = 5 সেমি. ও CA = 6 সেমি.।\n3. একটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকি যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 4.5 সেমি.। চাঁদার সাহায্যে এই ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মাপ লিখি।\n4. PQR একটি ত্রিভুজ আঁকি যার PQ = 6 সেমি., QR = 5 সেমি. ও PR = 6 সেমি.। চাঁদার সাহায্যে এই ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ মাপি এবং কোণগুলির সম্পর্ক বের করি।\n\n\n\n### অধ্যায় : ৪\n#### গণিতপ্রভা -- সপ্তম শ্রেণি\n\n## 3\n\nABC একটি ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি যেখানে AB=5 সেমি., BC=7 সেমি. এবং $\angle ABC=60°$\nপ্রথমে স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে খসড়া ছবি আঁকি\n\n

\n\nA\n5 সেমি.\n60°\nB\nC\n7 সেমি.\n

\n\ni) প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 5 সেমি. ও 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সরলরেখাংশ আঁকি।\n5 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n7 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n\n

\n\n\nii) এবার একটি রশ্মি BX নিলাম। A বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা রশ্মি BX কে C বিন্দুতে ছেদ করল।\n

\n\nA $\rule{4cm}{0.5pt}$ C $\rule{1cm}{0.5pt}$ X\nB $\rule{4cm}{0.5pt}$\n7 সেমি.\n\n

\n\n\niii) এবার B বিন্দুকে কেন্দ্র করে 60° কোণের সমান মানের একটি কোণ $\angle YBC$ আঁকলাম।\n

\n\n
\nY\nB\n60°\n7 সেমি.\nC\nX\nA\n5 সেমি.\n\n

\n\n\niv) এবার B বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা BY রশ্মিকে যে বিন্দুতে ছেদ করল সেটাই $\boxed{\hspace{0.5cm}}$ বিন্দু।\nv) স্কেলের সাহায্যে A ও C বিন্দু দুটি যোগ করে $\triangle ABC$ পেলাম।\n

\n\n
\nB\n7 সেমি.\nC\nX\n\n\n\n### ত্রিভুজ অঙ্কন\n#### অধ্যায় : ৪\n\nরেশমিও DEF একটি ত্রিভুজ আঁকল যার DE = 5 সেমি., EF = 7 সেমি. ও $\angle DEF = 60°$ ।\n\n

\n\n\nআমি আমার আঁকা ABC ত্রিভুজাকারক্ষেত্রটি কেটে রেশমির আঁকা DEF ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের উপর বসিয়ে দেখছি ত্রিভুজ দুটি একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে যাচ্ছে।\n

\n\n> 💡 অর্থাৎ একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ অপর একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান হলে একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে যায়।\n\nঅর্থাৎ ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্দিষ্ট হলে নির্দিষ্ট ত্রিভুজ পাই।\n\n### কষে দেখি - 8.2 📝\n\n1. ABC একটি ত্রিভুজ আঁকি যার AB = 4 সেমি. BC = 6 সেমি. এবং $\angle ABC = 45°$\n2. দুটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য ও বাহুদুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলে ত্রিভুজ দুটির একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে যাবে। দুটি ত্রিভুজ আঁকি। তারপর ত্রিভুজ দুটি কেটে ও মিলিয়ে যাচাই করি।\n3. PQR একটি ত্রিভুজ আঁকি যার PQ = 4 সেমি., QR = 3 সেমি. এবং $\angle PQR = 90°$; PQR ত্রিভুজের PR বাহুর দৈর্ঘ্য স্কেলের সাহায্যে মেপে লিখি।\n4. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকি যার সমান দুটি বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 7.2 সেমি. এবং সমান বাহুদুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ 100°।\n\n\n\n### অধ্যায় : ৪\n#### গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি\n\nএবার ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও ওই বাহুর সংলগ্ন দুটি কোণ\nজানা থাকলে কীভাবে ত্রিভুজ আঁকা যায় দেখি।\n\n## 4\n\nABC একটি ত্রিভুজ আঁকি যার BC = 7 সেমি., $\angle ABC = 30°$ এবং $\angle ACB = 100°$\nপ্রথমে স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে খসড়া ছবি আঁকি।\n\n

\n\nA\n30° 100°\nB\nC\n7 সেমি.\n

\n\ni) প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ ও চাঁদার সাহায্যে 100° মাপের কোণ এঁকে নিলাম।\n\nA\nB $\rule{5cm}{0.5pt}$ C\n7 সেমি.\n\n

\n\n\nii) এবার একটি রশ্মি BX নিলাম। BX রশ্মির B বিন্দুকে কেন্দ্র করে কম্পাসের সাহায্যে 7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকলাম যা BX রশ্মিকে $\boxed{\hspace{0.5cm}}$ বিন্দুতে ছেদ করল।\n

\n\n
\nA\n100°\nC\nB\n7 সেমি.\nC\nX\n\niii) এবার পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে B বিন্দুকে কেন্দ্র করে 30° কোণের সমান $\angle YBC$ কোণ অঙ্কন করলাম। অর্থাৎ পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে 60° কোণ আঁকলাম। আবার পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে সেই কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করলাম।\n\n
\nY\n\n
\nB\nC\nX\n\n\n\n### ত্রিভুজ অঙ্কন\n#### অধ্যায় : ৪\n\niv) পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 100° কোণের সমান করে একটি কোণ অঙ্কন করলাম যা BY রশ্মিকে A বিন্দুতে ছেদ করল।\n$\therefore \triangle ABC$ পেলাম যার BC = 7 সেমি.,\nএবং $\angle ABC = \boxed{\hspace{1cm}}$ ডিগ্রি ও $\angle ACB = \boxed{\hspace{1cm}}$ ডিগ্রি।\n\n

\n\nY\nA\nB\nC\nX\n

\n\nসোহানা PQR একটি ত্রিভুজ আঁকল যার QR = 7 সেমি, $\angle PQR = 30°$ ও $\angle PRQ = 100°$\n\n

\n\n\nআমি আমার আঁকা ABC ত্রিভুজাকারক্ষেত্রটি কেটে সোহানার আঁকা PQR ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের উপর বসিয়ে দেখছি ত্রিভুজাকারক্ষেত্র দুটি একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে গেল।\n

\n\n💡 পেলাম, দুটি ত্রিভুজের একটি বাহু ও সেই বাহু সংলগ্ন কোণ দুটি অপর একটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু এবং বাহু সংলগ্ন কোণ দুটির সাথে সমান হলে একটি ত্রিভুজ অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে যায়। অর্থাৎ ত্রিভুজের একটি বাহু ও বাহু সংলগ্ন কোণদুটি নির্দিষ্ট হলে নির্দিষ্ট ত্রিভুজ পাই।\n\n### কষে দেখি - 8.3 📝\n\n1. একটি ত্রিভুজের একটি বাহু ও সেই বাহুসংলগ্ন কোণদুটি অপর একটি ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও বাহু সংলগ্ন কোণের সাথে সমান হলে একটি ত্রিভুজ অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে যাবে। দুটি ত্রিভুজ আঁকি। তারপর ত্রিভুজাকারক্ষেত্র দুটি কেটে ও মিলিয়ে যাচাই করি।\n2. XYZ একটি ত্রিভুজ আঁকি যার YZ = 6.5 সেমি. ও $\angle XYZ = 60°$ ও $\angle XZY = 70°$\n3. ABC একটি ত্রিভুজ আঁকি যার BC = 5.5 সেমি., $\angle ABC = 60°$ ও $\angle ACB = 30°$\n4. PQR একটি ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি যার QR = 7.2 সেমি., $\angle PQR = 80°$ ও $\angle PRQ = 115°$ এবং ত্রিভুজ গঠন না হলে কারণ খুঁজি।\n5. DEF একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকি যার EF বাহুর দৈর্ঘ্য 6.2 সেমি. এবং বাহু সংলগ্ন কোণ দুটির যোগফল 100°\n\n\n\n### অধ্যায় : ৪\n#### গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি\n\n## 5\n\nআমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকার চেষ্টা করি যার একটি বাহু ও অতিভুজের দৈর্ঘ্য জানা আছে।\nএকটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ অবশ্যই $\boxed{\hspace{1cm}}$ (সমকোণ / স্থূলকোণ)\n\nপ্রথমে স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে খসড়া ছবি আঁকি।\n\n

\n\nA\n5 সেমি.\n90°\nC\nB\n3 সেমি.\n

\n\ni) প্রথমে স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে 3 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘের সরলরেখাংশ আঁকলাম।\n3 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n5 সেমি. $\rule{5cm}{0.5pt}$\n\nii) স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে QX একটি রশ্মি আঁকলাম।\n\nQ $\rule{5cm}{0.5pt}$ X\n\n

\n\n\niii) পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে QX রশ্মির Q বিন্দুতে QY লম্ব আঁকলাম।\n

\n\nY\nQ\n\n

\n\n\niv) Q বিন্দুকে কেন্দ্র করে 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান করে QX থেকে QR কেটে নিলাম এবং 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান করে R বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যা QY কে P বিন্দুতে ছেদ করে। এবার P, R বিন্দু দুটি যোগ করে $\triangle PQR$ পেলাম।\n$\angle PQR = \boxed{\hspace{1cm}}$ ডিগ্রি, PR = $\boxed{\hspace{1cm}}$ সেমি., QR = $\boxed{\hspace{1cm}}$ সেমি.,\nস্কেলের সাহায্যে মেপে পেলাম PQ = $\boxed{\hspace{1cm}}$ সেমি.\n

\n\nY\nP\n\nQ $\rule{5cm}{0.5pt}$ R $\rule{1cm}{0.5pt}$ X\n\n💡 তিতলি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকল যার $\angle ACB = 1$ সমকোণ, BC = 3 সেমি., AB = 5 সেমি.। আমি তিতলির আঁকা ABC সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্রটি কেটে নিয়ে আমার আঁকা PQR সমকোণী ত্রিভুজাকারক্ষেত্রের উপর বসিয়ে দেখলাম দুটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও আর একটি বাহু সমান বলে সমকোণী ত্রিভুজ দুটির একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে গেল।\n\n\n\n### ত্রিভুজ অঙ্কন\n#### অধ্যায় : ৪\n\nকিন্তু আমি যে সমকোণী ত্রিভূজ PQR আঁকলাম তার অতিভুজ PR = 5 সেমি., QR = 3 সেমি. এবং PQ = 4 সেমি.।\n\n

\n\n\n> ❓ কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্যগুলির মধ্যে কি কোনো সম্পর্ক আছে?\n

\n\nএখানে অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 5 সেমি., ভূমির দৈর্ঘ্য = 3 সেমি. এবং লম্বের দৈর্ঘ্য = 4 সেমি.\nদেখছি, $5^2 = 3^2 + 4^2$ অর্থাৎ $অতিভুজ^2 = ভূমি^2 + লম্ব^2$\n\n\n\n### কষে দেখি - 8.4 📝\n\n1. PQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি যার $\angle PQR = 90°$, PQ = 6 সেমি. ও QR = 4 সেমি.\n2. ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি যার $\angle ABC = 90°$, AB = 7 সেমি.\n3. XYZ একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি যার $\angle XYZ = 90°$, XZ = 10 সেমি. এবং YX = 6 সেমি.\n4. ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকি যার $\angle BAC = 90°$, BC = 8 সেমি. এবং $\angle ACB = 45°$\n সংকেত\n i) স্কেল ও পেনসিলের সাহায্যে একটি রশ্মি CX নিলাম।\n ii) C বিন্দুকে কেন্দ্র করে পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে CX-এর উপর $\angle XCD = 90°$ কোণ আঁকি।\n iii) পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে $\angle XCD$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করি। একটি কোণ $\angle XCY$ পাই যার মান 45° [এই CY রশ্মির উপরে $\boxed{\hspace{0.5cm}}$ বিন্দু আছে]।\n iv) CY থেকে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের সমান করে CB কেটে নিলাম। B বিন্দু থেকে স্কেল ও পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে CX-এর উপর লম্ব আঁকি। এই লম্ব CX কে $\boxed{\hspace{0.5cm}}$ বিন্দুতে ছেদ করল।\n সুতরাং প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজের BC = 8 সেমি., $\angle BAC = 90°$ এবং $\angle ACB = 45°$\n\n