19. উৎপাদকে বিশ্লেষণ
আজ আমি, শাহিনা, কাশিম ও সুজয় সবাই স্কুল ছুটির পরে মিলিদের বাড়ি গিয়ে দেখি মিলি অনেকগুলি নানা রঙের বর্গক্ষেত্রাকার কাগজের টুকরো তৈরি করেছে।
মেপে দেখছি, প্রতিটি বর্গক্ষেত্রাকার টুকরোর বাহুর দৈর্ঘ্য 1 সেমি.। কাশিম এই টুকরোগুলো দিয়ে এক মজার জিনিস করল —
. .18 = 9 × 2 .. 18 = 9 \times 2 ..18 = 9 × 2 18 = 6 × 3 18 = 6 \times 3 18 = 6 × 3 18 = 18 × 1 18 = 18 \times 1 18 = 18 × 1
18 18 18 □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ 18 = 2 × 3 × 3 18 = 2 \times 3 \times 3 18 = 2 × 3 × 3
আমি 20টি বর্গক্ষেত্রাকার টুকরো সাজিয়ে পাই
. .20 = 4 × 5 ..20 = 4 \times 5 ..20 = 4 × 5 20 = 10 × 2 20 = 10 \times 2 20 = 10 × 2 20 = 20 × 1 20 = 20 \times 1 20 = 20 × 1
20 20 20 □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ □ \square □ 20 = 2 × 2 × 5 20 = 2 \times 2 \times 5 20 = 2 × 2 × 5
অধ্যায় : 19
গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি
. .24 = □ × □ × □ .. 24 = \square \times \square \times \square ..24 = □ × □ × □ 30 = □ × □ × □ 30 = \square \times \square \times \square 30 = □ × □ × □
18, 20, 24 ও 30 -কে মৌলিক উৎপাদকের গুণফল হিসাবে প্রকাশ করলাম বা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলাম।
এবার বীজগাণিতিক সংখ্যামালা 2 x y 2xy 2 x y
2 x y 2xy 2 x y
. . .. .. 2 x y = 2 × x × y 2xy = 2 \times x \times y 2 x y = 2 × x × y
তাহলে 2 , x , y 2, x, y 2 , x , y 2 x y 2xy 2 x y
💡 x , y x, y x , y 2 x y 2xy 2 x y মৌলিক উৎপাদক বা অলঘুকরণযোগ্য (irreducible) উৎপাদক বলি অর্থাৎ তাদের আর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না।
যদি 2 x y = 2 × ( x y ) 2xy = 2 \times (xy) 2 x y = 2 × ( x y ) x y xy x y
আমি 4 x z 4xz 4 x z 9 x 2 y 9x^2y 9 x 2 y
4 x z = 2 × 2 × x × z 4xz = 2 \times 2 \times x \times z 4 x z = 2 × 2 × x × z
. .9 x 2 y = □ × □ × □ × □ .. 9x^2y = \square \times \square \times \square \times \square ..9 x 2 y = □ × □ × □ × □
নিজে করি 19.1 উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি-
25 x y 25xy 25 x y 18 x y 2 18xy^2 18 x y 2 15 q 2 r 2 15q^2r^2 15 q 2 r 2 10 x y z 10xyz 10 x y z 12 x y z 12xyz 12 x y z
উৎপাদকে বিশ্লেষণ
অধ্যায় : 19
কিন্তু 2 x ( x + 4 ) 2x (x + 4) 2 x ( x + 4 ) 8 x 2 y 2 ( x + 2 y ) 8x^2y^2 (x + 2y) 8 x 2 y 2 ( x + 2 y )
. .2 x ( x + 4 ) ..2x (x+4) ..2 x ( x + 4 ) = 2 × x × ( x + 4 ) = 2 \times x \times (x + 4) = 2 × x × ( x + 4 )
. .8 x 2 y 2 ( x + 2 y ) .. 8 x^2y^2 (x+2y) ..8 x 2 y 2 ( x + 2 y ) = □ × □ × □ × □ × □ × □ × ( x + 2 y ) = \square \times \square \times \square \times \square \times \square \times \square \times (x+2y) = □ × □ × □ × □ × □ × □ × ( x + 2 y )
নিজে করি – 19.1 উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।
12 x 2 y ( x + 2 ) 12x^2y (x + 2) 12 x 2 y ( x + 2 ) 18 y z 2 ( 2 y + 3 z ) 18yz^2 (2y + 3z) 18 y z 2 ( 2 y + 3 z ) 16 x y z ( x + y ) 16 xyz (x + y) 16 x y z ( x + y ) 15 p q 2 ( p + 3 q ) 15pq^2 (p + 3q) 15 p q 2 ( p + 3 q ) 14 m n 2 ( 2 m − n ) = □ × □ × □ × □ × □ 14 mn^2 (2m - n) = \square \times \square \times \square \times \square \times \square 14 m n 2 ( 2 m − n ) = □ × □ × □ × □ × □
( 6 + 2 x ) (6 + 2x) ( 6 + 2 x )
প্রথমে 6 6 6 6 = 2 × 3 6 = 2 \times 3 6 = 2 × 3 2 x = 2 × x 2x = 2 \times x 2 x = 2 × x 6 6 6 2 x 2x 2 x 2 2 2
. .6 + 2 x = 2 × 3 + 2 × x .. 6 + 2x = 2\times3+2\times x ..6 + 2 x = 2 × 3 + 2 × x = 2 × ( 3 + x ) = 2\times(3+x) = 2 × ( 3 + x ) = 2 ( 3 + x ) = 2(3 + x) = 2 ( 3 + x )
. .6 + 2 x = 2 ( 3 + x ) .. 6 + 2x = 2 (3 + x) ..6 + 2 x = 2 ( 3 + x )
( 15 x − 12 y ) (15x - 12y) ( 15 x − 12 y )
15 x = □ × □ × □ 15x = \square \times \square \times \square 15 x = □ × □ × □ 12 y = □ × □ × □ × □ 12y = \square \times \square \times \square \times \square 12 y = □ × □ × □ × □
. .15 x .. 15x ..15 x 12 y 12y 12 y □ \square □
. .15 x − 12 y = 3 × 5 × x − 3 × 2 × 2 × y .. 15x - 12y = 3\times5\times x-3\times2\times2\times y ..15 x − 12 y = 3 × 5 × x − 3 × 2 × 2 × y = 3 × ( 5 × x − 2 × 2 × y ) = 3\times(5 \times x - 2\times2\times y) = 3 × ( 5 × x − 2 × 2 × y ) = 3 ( 5 x − 4 y ) = 3(5x - 4y) = 3 ( 5 x − 4 y )
অধ্যায় : 19
গণিতপ্রভা -- সপ্তম শ্রেণি
3 x 2 + 6 x 3x^2 + 6x 3 x 2 + 6 x
3 x 2 = □ × □ × □ 3x^2=\square \times \square \times \square 3 x 2 = □ × □ × □ 6 x = □ × □ 6x = \square \times \square 6 x = □ × □
3 x 2 3x^2 3 x 2 6 x 6x 6 x □ × □ \square \times \square □ × □
. .3 x 2 + 6 x = 3 × x × x + 3 × 2 × x = 3 × x × ( x + 2 ) = 3 x ( x + 2 ) .. 3x^2 + 6x = 3 \times x \times x + 3 \times 2 \times x = 3 \times x \times (x + 2) = 3x (x + 2) ..3 x 2 + 6 x = 3 × x × x + 3 × 2 × x = 3 × x × ( x + 2 ) = 3 x ( x + 2 )
হাতেকলমে 3 x 2 + 6 x 3x^2+ 6x 3 x 2 + 6 x
নীল রঙের 3 সেমি. × \times × x 2 x^2 x 2
অনেকগুলি লাল রঙের 3 সেমি. × \times × x x x
এবার 3 x 2 3x^2 3 x 2 6 x 6x 6 x
নীল বর্গাকার কার্ড ও লাল আয়তাকার কার্ড নিচের মতো সাজালাম। কি পেলাম লিখি—
এই সজ্জার দৈর্ঘ্য = ( 3 x + 6 ) (3x +6) ( 3 x + 6 ) x x x . . .. .. x ( 3 x + 6 ) x (3x +6) x ( 3 x + 6 )
উৎপাদকে বিশ্লেষণ
অধ্যায় : 19
৪) নীল বর্গাকার কার্ড ও লাল আয়তাকার কার্ড নীচের মতো সাজালাম। কি পেলাম লিখি
. . .. .. = 3 x ( x + 2 ) = 3x (x + 2) = 3 x ( x + 2 )
. .3 x 2 + 6 x = 3 x ( x + 2 ) .. 3x^2 + 6x = 3x (x + 2) ..3 x 2 + 6 x = 3 x ( x + 2 )
নীচের গোলাকার ঘরের সংখ্যাগুলি গুণ করি ও চৌকো ঘরের সংখ্যাগুলি যোগ করি। কি পাই দেখি।
$.. 5x (x + 2y) = 5x^2+10xy$
$.. x^2 - 4x = \square (x-4)$
$.. 2a^3 - 8a^2 = \square \times \square$
$.. 5xy- 6xyz = \square \times \square$
অধ্যায় : 19
গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি
নিজে করি - 19.2
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।
i) 2 + 14 x 2 + 14x 2 + 14 x 5 x − 20 y 5x - 20y 5 x − 20 y 6 x − 3 y 6x - 3y 6 x − 3 y 3 a 2 − 12 a 3a^2 - 12a 3 a 2 − 12 a
নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালার সাধারণ উৎপাদকগুলি লিখি।
i) 6 a , 2 a 2 6a, 2a^2 6 a , 2 a 2 5 x , 6 x y 5x, 6xy 5 x , 6 x y 4 x y z , 12 y z 4xyz, 12yz 4 x y z , 12 y z 7 a 2 b , 14 a b c 7a^2b, 14abc 7 a 2 b , 14 ab c
💡 ( x 2 + x y + 7 x + 7 y ) (x^2 + xy + 7x + 7y) ( x 2 + x y + 7 x + 7 y )
প্রথমে x 2 + x y + 7 x + 7 y x^2+ xy + 7x + 7y x 2 + x y + 7 x + 7 y
( x 2 + 7 y + x y + 7 x ) (x^2+7y + xy + 7x) ( x 2 + 7 y + x y + 7 x )
এবার ( x 2 + x y ) (x^2 + xy) ( x 2 + x y ) ( 7 x + 7 y ) (7x + 7y) ( 7 x + 7 y )
. . x 2 + x y + 7 x + 7 y = x × x + x × y + 7 × x + 7 × y .. x^2+ xy + 7x + 7y = x \times x + x \times y + 7 \times x + 7 \times y .. x 2 + x y + 7 x + 7 y = x × x + x × y + 7 × x + 7 × y = x × ( x + y ) + 7 × ( x + y ) = x \times (x+y)+7 \times (x+y) = x × ( x + y ) + 7 × ( x + y ) = ( x + y ) ( x + 7 ) = (x + y) (x + 7) = ( x + y ) ( x + 7 )
15 p q + 15 + p q + 25 p 15pq + 15 + pq + 25p 15 pq + 15 + pq + 25 p
( 15 p q + 15 + 9 q + 25 p ) (15pq + 15 + 9q + 25p) ( 15 pq + 15 + 9 q + 25 p ) ( 15 p q + 25 p ) + ( 9 q + 15 ) (15pq + 25p) + (9q + 15) ( 15 pq + 25 p ) + ( 9 q + 15 ) = ( 5 × 3 × p × q + 5 × 5 × p ) + ( 3 × 3 × q + 3 × 5 ) = (5\times3\times p\times q + 5 \times 5 \times p) + ( 3\times3\times q+3\times5) = ( 5 × 3 × p × q + 5 × 5 × p ) + ( 3 × 3 × q + 3 × 5 ) = 5 × p ( 3 × q + 5 ) + 3 ( 3 × q + 5 ) = 5\times p(3\times q+5) +3 (3 \times q+ 5) = 5 × p ( 3 × q + 5 ) + 3 ( 3 × q + 5 ) = ( 3 × q + 5 ) ( 5 × p + 3 ) = (3\times q+5)(5\times p+3) = ( 3 × q + 5 ) ( 5 × p + 3 ) = ( 3 q + 5 ) ( 5 p + 3 ) = ( 3q + 5) (5p + 3) = ( 3 q + 5 ) ( 5 p + 3 )
নিজে করি - 19.3
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি।
i) x y + y + 3 x + 3 xy + y + 3x + 3 x y + y + 3 x + 3 p q − q + 2 p − 2 pq - q + 2p - 2 pq − q + 2 p − 2 6 x y + 3 y + 4 x + 2 6xy + 3y + 4x + 2 6 x y + 3 y + 4 x + 2 10 x y + 2 y + 5 x + 1 10xy + 2y + 5x + 1 10 x y + 2 y + 5 x + 1
উৎপাদকে বিশ্লেষণ
অধ্যায় : 19
কষে দেখি-19.1
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি —
(i) x 2 + 14 x + 49 x^2 + 14x + 49 x 2 + 14 x + 49 4 m 2 − 36 m + 81 4m^2 - 36m + 81 4 m 2 − 36 m + 81 25 x 2 + 30 x + 9 25x^2+30x+9 25 x 2 + 30 x + 9 121 b 2 − 88 b c + 16 121b^2 - 88bc + 16 121 b 2 − 88 b c + 16 ( x 2 y ) 2 − 4 x 2 y 2 (x^2y)^2-4x^2y^2 ( x 2 y ) 2 − 4 x 2 y 2 a 2 + 4 a 2 b 2 + 4 b 4 a^2+4a^2b^2+4b^4 a 2 + 4 a 2 b 2 + 4 b 4 4 x 2 − 16 4x^2 - 16 4 x 2 − 16 121 − 36 x 2 121 - 36x^2 121 − 36 x 2 x 2 y 2 − p 2 q 2 x^2y^2 -p^2q^2 x 2 y 2 − p 2 q 2 80 m 2 − 125 80m^2 - 125 80 m 2 − 125 a x 2 − a y 2 ax^2 - ay^2 a x 2 − a y 2 1 − ( m + n ) 2 1 - (m + n)^2 1 − ( m + n ) 2 ( 2 a − b − c ) 2 − ( a − 2 b − c ) 2 (2a - b - c)^2 - (a-2b - c)^2 ( 2 a − b − c ) 2 − ( a − 2 b − c ) 2 x 2 − 2 x y − 3 y 2 x^2 - 2xy -3y^2 x 2 − 2 x y − 3 y 2 x 2 + 9 y 2 + 6 x y − z 2 x^2 + 9y^2 + 6xy - z^2 x 2 + 9 y 2 + 6 x y − z 2 a 2 − b 2 + 2 b c − c 2 a^2 - b^2 + 2bc - c^2 a 2 − b 2 + 2 b c − c 2 a 2 ( b − c ) 2 − b 2 ( c − a ) 2 a^2 (b - c)^2 - b^2 (c - a)^2 a 2 ( b − c ) 2 − b 2 ( c − a ) 2 x 2 − y 2 − 6 y z − 9 z 2 x^2 - y^2 -6yz - 9z^2 x 2 − y 2 − 6 y z − 9 z 2 x 2 − y 2 + 4 x − 4 y x^2-y^2+4x - 4y x 2 − y 2 + 4 x − 4 y a 2 − b 2 + c 2 − d 2 − 2 ( a c − b d ) a^2-b^2+c^2-d^2-2(ac-bd) a 2 − b 2 + c 2 − d 2 − 2 ( a c − b d ) 2 a b − a 2 − b 2 + c 2 2ab-a^2-b^2+c^2 2 ab − a 2 − b 2 + c 2 36 x 2 − 16 a 2 − 24 a b − 9 b 2 36x^2-16a^2-24ab-9b^2 36 x 2 − 16 a 2 − 24 ab − 9 b 2 a 2 − 1 + 2 b − b 2 a^2-1+2b-b^2 a 2 − 1 + 2 b − b 2 a 2 − 2 a − b 2 + 2 b a^2-2a-b^2+2b a 2 − 2 a − b 2 + 2 b ( a 2 − b 2 ) ( c 2 − d 2 ) − 4 a b c d (a^2-b^2) (c^2-d^2)-4abcd ( a 2 − b 2 ) ( c 2 − d 2 ) − 4 ab c d a 2 − b 2 − 4 a c + 4 b c a^2-b^2-4ac+4bc a 2 − b 2 − 4 a c + 4 b c ( a 2 − b 2 − c 2 + d 2 ) 2 − 4 ( a d − b c ) 2 (a^2-b^2-c^2+d^2)^2-4(ad-bc)^2 ( a 2 − b 2 − c 2 + d 2 ) 2 − 4 ( a d − b c ) 2 3 x 2 − y 2 + z 2 − 2 x y − 4 x z 3x^2-y^2+z^2-2xy - 4xz 3 x 2 − y 2 + z 2 − 2 x y − 4 x z
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি-
(i) 81 x 4 + 4 y 4 81x^4+4y^4 81 x 4 + 4 y 4 p 4 − 13 p 2 q 2 + 4 q 4 p^4-13p^2q^2+4q^4 p 4 − 13 p 2 q 2 + 4 q 4 x 8 − 16 y 8 x^8-16y^8 x 8 − 16 y 8 x 4 + x 2 y 2 + y 4 x^4+x^2y^2+y^4 x 4 + x 2 y 2 + y 4 3 x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 3x^4+2x^2y^2-y^4 3 x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 x 4 + x 2 + 1 x^4+x^2+1 x 4 + x 2 + 1 x 4 + 6 x 2 y 2 + 8 y 4 x^4+6x^2y^2+8y^4 x 4 + 6 x 2 y 2 + 8 y 4 3 x 2 − y 2 + z 2 − 2 x y − 4 x z 3x^2-y^2+z^2-2xy-4xz 3 x 2 − y 2 + z 2 − 2 x y − 4 x z 3 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 3x^4- 4x^2y^2+y^4 3 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 p 4 − 2 p 2 q 2 − 15 q 4 p^4-2p^2q^2-15q^4 p 4 − 2 p 2 q 2 − 15 q 4 x 8 + x 4 y 4 + y 8 x^8+x^4y^4+y^8 x 8 + x 4 y 4 + y 8
অধ্যায় : 19
গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি
বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলির উৎপাদকে বিশ্লেষণের চেষ্টা করি
প্রথমে পরিচিত অভেদগুলি লেখার চেষ্টা করি:
a 2 + 2 a b + b 2 = □ □ □ a^2+2ab+b^2 = \square \square \square a 2 + 2 ab + b 2 = □□□ a 2 − 2 a b + b 2 = □ □ □ a^2-2ab+b^2 = \square \square \square a 2 − 2 ab + b 2 = □□□ a 2 − b 2 = ( a + b ) × □ □ a^2-b^2 = (a+b) \times \square \square a 2 − b 2 = ( a + b ) × □□
i) 4 x 2 + 4 x + 1 4x^2+4x+1 4 x 2 + 4 x + 1 = ( 2 x ) 2 + 2.2 x .1 + ( 1 ) 2 = (2x)^2+2.2x.1+(1)^2 = ( 2 x ) 2 + 2.2 x .1 + ( 1 ) 2 = ( 2 x + 1 ) 2 = (2x+1)^2 = ( 2 x + 1 ) 2 = ( 2 x + 1 ) × ( 2 x + 1 ) = (2x+1)\times(2x+1) = ( 2 x + 1 ) × ( 2 x + 1 )
ii) 9 x 2 − 6 x + 1 9x^2 - 6x + 1 9 x 2 − 6 x + 1 = □ 2 − 2. □ . □ + ( 1 ) 2 = \square^2-2.\square.\square+ (1)^2 = □ 2 − 2. □ . □ + ( 1 ) 2 = ( 3 x − 1 ) 2 = (3x-1)^2 = ( 3 x − 1 ) 2 = ( 3 x − 1 ) × ( 3 x − 1 ) = (3x-1)\times(3x-1) = ( 3 x − 1 ) × ( 3 x − 1 )
iii) x 2 − 4 y 2 x^2- 4y^2 x 2 − 4 y 2 = x 2 − ( 2 y ) 2 = x^2 - (2y)^2 = x 2 − ( 2 y ) 2 = ( x + 2 y ) ( x − 2 y ) = (x+2y)(x - 2y) = ( x + 2 y ) ( x − 2 y )
iv) 16 x 2 − 25 y 2 16x^2- 25y^2 16 x 2 − 25 y 2 = □ 2 − □ 2 = \square^2 - \square^2 = □ 2 − □ 2 = ( 4 x + 5 y ) ( 4 x − 5 y ) = (4x+5y) (4x-5y) = ( 4 x + 5 y ) ( 4 x − 5 y )
v) x 2 + 10 x + 25 x^2 + 10x + 25 x 2 + 10 x + 25 = x 2 + 2 x × x □ + □ 2 = x^2 + 2x \times x \square + \square^2 = x 2 + 2 x × x □ + □ 2 = ( x + 5 ) 2 = ( x + 5 ) × ( x + 5 ) = (x + 5)^2= (x+5)\times(x+5) = ( x + 5 ) 2 = ( x + 5 ) × ( x + 5 )
vi) 25 x 2 − 20 x + 4 25x^2 - 20x + 4 25 x 2 − 20 x + 4 = □ 2 − □ × □ × □ + □ 2 = \square^2 - \square \times \square \times \square +\square^2 = □ 2 − □ × □ × □ + □ 2 = ( 5 x − 2 ) 2 = (5x - 2)^2 = ( 5 x − 2 ) 2
vii) 49 m 2 − 100 49 m^2 - 100 49 m 2 − 100 = ( 7 m 2 ) 2 − □ 2 = (7m^2)^2 - \square^2 = ( 7 m 2 ) 2 − □ 2 = ( 7 m 2 + 10 ) ( 7 m 2 − 10 ) = (7m^2 + 10) (7m^2 - 10) = ( 7 m 2 + 10 ) ( 7 m 2 − 10 )
viii) a 2 − 2 a b + b 2 − c 2 a^2 - 2ab + b^2 - c^2 a 2 − 2 ab + b 2 − c 2 = ( a 2 − 2 a b + b 2 ) − c 2 = (a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = ( a 2 − 2 ab + b 2 ) − c 2 = ( a − b ) 2 − c 2 = (a - b)^2 - c^2 = ( a − b ) 2 − c 2 = ( a − b + c ) ( a − b − c ) = (a- b + c) (a-b-c) = ( a − b + c ) ( a − b − c )
ix) 16 ( 3 x + 2 y ) 2 − 9 ( x − 2 y ) 2 16(3x + 2y)^2 - 9(x - 2y)^2 16 ( 3 x + 2 y ) 2 − 9 ( x − 2 y ) 2 = 4 2 × ( 3 x + 2 y ) 2 − 3 2 × ( x − 2 y ) 2 = 4^2 \times (3x + 2y)^2 - 3^2 \times ( x - 2y)^2 = 4 2 × ( 3 x + 2 y ) 2 − 3 2 × ( x − 2 y ) 2 = { 4 ( 3 x + 2 y ) } 2 − { 3 ( x − 2 y ) } 2 = \{4(3x+2y)\}^2 - \{3(x-2y)\}^2 = { 4 ( 3 x + 2 y ) } 2 − { 3 ( x − 2 y ) } 2 = A 2 − B 2 = A^2 - B^2 = A 2 − B 2 = ( A + B ) ( A − B ) = (A+B) (A-B) = ( A + B ) ( A − B ) = { 4 ( 3 x + 2 y ) + 3 ( x − 2 y ) } { 4 ( 3 x + 2 y ) − 3 ( x − 2 y ) } = \{4(3x+2y) + 3(x-2y)\} \{4(3x+2y) - 3(x-2y)\} = { 4 ( 3 x + 2 y ) + 3 ( x − 2 y )} { 4 ( 3 x + 2 y ) − 3 ( x − 2 y )} = ( 12 x + 8 y + 3 x − 6 y ) ( 12 x + 8 y − 3 x + 6 y ) = (12x+8y +3x - 6y) (12x + 8y - 3x + 6y) = ( 12 x + 8 y + 3 x − 6 y ) ( 12 x + 8 y − 3 x + 6 y ) = ( 12 x + 3 x + 8 y − 6 y ) ( 12 x − 3 x + 8 y + 6 y ) = (12x + 3x + 8y - 6y) (12x - 3x + 8y + 6y) = ( 12 x + 3 x + 8 y − 6 y ) ( 12 x − 3 x + 8 y + 6 y ) = ( 15 x + 2 y ) ( 9 x + 14 y ) = (15x + 2y) (9x + 14y) = ( 15 x + 2 y ) ( 9 x + 14 y )
x) ( 2 a 2 + b 2 − c 2 ) 2 − ( 2 a 2 + c 2 ) 2 (2a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2a^2+c^2)^2 ( 2 a 2 + b 2 − c 2 ) 2 − ( 2 a 2 + c 2 ) 2 = A 2 − B 2 = A^2 - B^2 = A 2 − B 2 2 a 2 + b 2 − c 2 = A 2a^2 + b^2-c^2 = A 2 a 2 + b 2 − c 2 = A 2 a 2 + c 2 = B 2a^2 + c^2 = B 2 a 2 + c 2 = B = ( □ + □ ) ( □ − □ ) = (\square + \square ) (\square - \square ) = ( □ + □ ) ( □ − □ ) = { ( 2 a 2 + b 2 − c 2 ) + ( 2 a 2 + c 2 ) } { ( 2 a 2 + b 2 − c 2 ) − ( 2 a 2 + c 2 ) } = \{(2a^2+b^2-c^2)+(2a^2+c^2)\} \{(2a^2+b^2-c^2)-(2a^2+c^2)\} = {( 2 a 2 + b 2 − c 2 ) + ( 2 a 2 + c 2 )} {( 2 a 2 + b 2 − c 2 ) − ( 2 a 2 + c 2 )} = { □ × □ } = \{\square \times \square \} = { □ × □ } = ( 4 a 2 + b 2 ) × ( b 2 − 2 c 2 ) = (4a^2 + b^2) \times (b^2 - 2c^2) = ( 4 a 2 + b 2 ) × ( b 2 − 2 c 2 ) = ( 4 a 2 + b 2 ) ( b 2 − 2 c 2 ) = (4a^2 + b^2) (b^2 - 2c^2) = ( 4 a 2 + b 2 ) ( b 2 − 2 c 2 )
উৎপাদকে বিশ্লেষণ
অধ্যায় : 19
আমি নীচের বীজগণিতিক সংখ্যামালাগুলির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি ও কোন অভেদের সাহায্য নেব দেখি।
(i) x 4 + 64 y 4 x^4 + 64y^4 x 4 + 64 y 4 a 4 + a 2 b 2 + b 4 a^4+ a^2b^2 + b^4 a 4 + a 2 b 2 + b 4 x 4 − 3 x 2 b 2 + 954 x^4-3x^2b^2+ 954 x 4 − 3 x 2 b 2 + 954
(i) x 4 + 64 y 4 x^4 + 64y^4 x 4 + 64 y 4 = x 4 + 64 y 4 = ( x 2 ) 2 + ( 8 y 2 ) 2 = x^4 + 64y^4 = (x^2)^2 + (8y^2)^2 = x 4 + 64 y 4 = ( x 2 ) 2 + ( 8 y 2 ) 2 = ( x 2 ) 2 + ( 8 y 2 ) 2 + 2. x 2 .8 y 2 − 2. x 2 .8 y 2 = (x^2)^2+(8y^2)^2 + 2.x^2.8y^2 - 2.x^2.8y^2 = ( x 2 ) 2 + ( 8 y 2 ) 2 + 2. x 2 .8 y 2 − 2. x 2 .8 y 2 = ( x 2 + 8 y 2 ) 2 − 16 x 2 y 2 = (x^2+8y^2)^2-16x^2y^2 = ( x 2 + 8 y 2 ) 2 − 16 x 2 y 2 = ( x 2 + 8 y 2 ) 2 − ( 4 x y ) 2 =(x^2+8y^2)^2- (4xy)^2 = ( x 2 + 8 y 2 ) 2 − ( 4 x y ) 2 = ( x 2 + 8 y 2 + 4 x y ) ( x 2 + 8 y 2 − 4 x y ) =(x^2+8y^2+4xy) (x^2+8y^2-4xy) = ( x 2 + 8 y 2 + 4 x y ) ( x 2 + 8 y 2 − 4 x y )
(ii) a 4 + a 2 b 2 + b 2 a^4+a^2b^2+b^2 a 4 + a 2 b 2 + b 2 = ( a 2 ) 2 + 2 a 2 b 2 + ( b 2 ) 2 − a 2 b 2 = (a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2-a^2b^2 = ( a 2 ) 2 + 2 a 2 b 2 + ( b 2 ) 2 − a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 − ( a b ) 2 = (a^2+b^2)^2-(ab)^2 = ( a 2 + b 2 ) 2 − ( ab ) 2 = ( □ + □ ) ( □ − □ ) = (\square + \square ) (\square - \square ) = ( □ + □ ) ( □ − □ )
অন্যভাবে x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 x y x^2+y^2=(x+y)^2-2xy x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 − 2 x y
(i) x 4 + 64 y 4 x^4+64y^4 x 4 + 64 y 4 = ( x 2 ) 2 + ( 8 y 2 ) 2 = (x^2)^2+(8y^2)^2 = ( x 2 ) 2 + ( 8 y 2 ) 2 = ( x 2 + 8 y 2 ) 2 − 2. x 2 .8 y 2 =(x^2+8y^2)^2-2.x^2.8y^2 = ( x 2 + 8 y 2 ) 2 − 2. x 2 .8 y 2 = ( x 2 + 8 y 2 ) 2 − 16 x 2 y 2 =(x^2+8y^2)^2-16x^2y^2 = ( x 2 + 8 y 2 ) 2 − 16 x 2 y 2 = ( x 2 + 8 y 2 + 4 x y ) ( x 2 + 8 y 2 − 4 x y ) =(x^2+8y^2+4xy) (x^2+8y^2 -4xy) = ( x 2 + 8 y 2 + 4 x y ) ( x 2 + 8 y 2 − 4 x y )
(ii) a 4 + a 2 b 2 + b 2 a^4+a^2b^2+b^2 a 4 + a 2 b 2 + b 2 = a 4 + b 4 + a 2 b 2 =a^4+b^4+a^2b^2 = a 4 + b 4 + a 2 b 2 = ( a 2 ) 2 + ( b 2 ) 2 + a 2 b 2 =(a^2)^2+(b^2)^2 +a^2b^2 = ( a 2 ) 2 + ( b 2 ) 2 + a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 − 2 a 2 b 2 + a 2 b 2 =(a^2+b^2)^2-2a^2b^2+a^2b^2 = ( a 2 + b 2 ) 2 − 2 a 2 b 2 + a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 − a 2 b 2 =(a^2+b^2)^2-a^2b^2 = ( a 2 + b 2 ) 2 − a 2 b 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 − ( a b ) 2 =(a^2+b^2)^2 -(ab)^2 = ( a 2 + b 2 ) 2 − ( ab ) 2 = ( a 2 + b 2 + a b ) ( a 2 + b 2 − a b ) =(a^2+b^2+ab) (a^2+b^2-ab) = ( a 2 + b 2 + ab ) ( a 2 + b 2 − ab )
(iii) x 4 − 3 x 2 y 2 + 9 y 4 x^4 - 3x^2 y^2 + 9y^4 x 4 − 3 x 2 y 2 + 9 y 4 = x 4 + 9 y 4 − 3 x 2 y 2 = x^4 + 9y^4 - 3x^2y^2 = x 4 + 9 y 4 − 3 x 2 y 2 = □ 2 + □ 2 − 3 x 2 y 2 = \square^2 + \square^2 - 3x^2y^2 = □ 2 + □ 2 − 3 x 2 y 2 = ( x 2 + 3 y 2 ) 2 − 2. x 2 3 y 2 − 3 x 2 y 2 = (x^2+3y^2)^2-2.x^23y^2-3x^2y^2 = ( x 2 + 3 y 2 ) 2 − 2. x 2 3 y 2 − 3 x 2 y 2 = ( x 2 + 3 y 2 ) 2 − 9 x 2 y 2 = (x^2 + 3y^2)^2 - 9x^2y^2 = ( x 2 + 3 y 2 ) 2 − 9 x 2 y 2 = ( x 2 + 3 y 2 ) 2 − ( 3 x y ) 2 = (x^2 + 3y^2)^2 -(3xy)^2 = ( x 2 + 3 y 2 ) 2 − ( 3 x y ) 2
যদি এভাবে করি
x 4 − 3 x 2 y 2 + 9 y 4 x^4 - 3x^2y^2 + 9y^4 x 4 − 3 x 2 y 2 + 9 y 4 = ( x 2 ) 2 + 2. x 2 .3 y 2 + ( 3 y 2 ) 2 − 6 x 2 y 2 − 3 x 2 y 2 = (x^2)^2+2.x^2.3y^2+(3y^2)^2-6x^2y^2-3x^2y^2 = ( x 2 ) 2 + 2. x 2 .3 y 2 + ( 3 y 2 ) 2 − 6 x 2 y 2 − 3 x 2 y 2 = ( x 2 + 3 y 2 ) 2 − 9 x 2 y 2 = (x^2+3y^2)^2-9x^2y^2 = ( x 2 + 3 y 2 ) 2 − 9 x 2 y 2 = ( x 2 − 3 y 2 ) 2 − ( 3 x y ) 2 = (x^2-3y^2)^2-(3xy)^2 = ( x 2 − 3 y 2 ) 2 − ( 3 x y ) 2
অধ্যায় : 19
গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি
কষে দেখি - 19.2
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি —
(i) x 2 + 14 x + 49 x^2 + 14x + 49 x 2 + 14 x + 49 4 m 2 − 36 m + 81 4m^2 - 36m + 81 4 m 2 − 36 m + 81 25 x 2 + 30 x + 9 25x^2+30x+9 25 x 2 + 30 x + 9 121 b 2 − 88 b c + 16 121b^2 - 88bc + 16 121 b 2 − 88 b c + 16 ( x 2 y ) 2 − 4 x 2 y 2 (x^2y)^2-4x^2y^2 ( x 2 y ) 2 − 4 x 2 y 2 a 2 + 4 a 2 b 2 + 4 b 4 a^2+4a^2b^2+4b^4 a 2 + 4 a 2 b 2 + 4 b 4 4 x 2 − 16 4x^2 - 16 4 x 2 − 16 121 − 36 x 2 121 - 36x^2 121 − 36 x 2 x 2 y 2 − p 2 q 2 x^2y^2 -p^2q^2 x 2 y 2 − p 2 q 2 80 m 2 − 125 80m^2 - 125 80 m 2 − 125 a x 2 − a y 2 ax^2 - ay^2 a x 2 − a y 2 1 − ( m + n ) 2 1 - (m + n)^2 1 − ( m + n ) 2 ( 2 a − b − c ) 2 − ( a − 2 b − c ) 2 (2a - b - c)^2 - (a-2b - c)^2 ( 2 a − b − c ) 2 − ( a − 2 b − c ) 2 x 2 − 2 x y − 3 y 2 x^2 - 2xy -3y^2 x 2 − 2 x y − 3 y 2 x 2 + 9 y 2 + 6 x y − z 2 x^2 + 9y^2 + 6xy - z^2 x 2 + 9 y 2 + 6 x y − z 2 a 2 − b 2 + 2 b c − c 2 a^2 - b^2 + 2bc - c^2 a 2 − b 2 + 2 b c − c 2 a 2 ( b − c ) 2 − b 2 ( c − a ) 2 a^2 (b - c)^2 - b^2 (c - a)^2 a 2 ( b − c ) 2 − b 2 ( c − a ) 2 x 2 − y 2 − 6 y z − 9 z 2 x^2 - y^2 -6yz - 9z^2 x 2 − y 2 − 6 y z − 9 z 2 x 2 − y 2 + 4 x − 4 y x^2-y^2+4x - 4y x 2 − y 2 + 4 x − 4 y a 2 − b 2 + c 2 − d 2 − 2 ( a c − b d ) a^2-b^2+c^2-d^2-2(ac-bd) a 2 − b 2 + c 2 − d 2 − 2 ( a c − b d ) 2 a b − a 2 − b 2 + c 2 2ab-a^2-b^2+c^2 2 ab − a 2 − b 2 + c 2 36 x 2 − 16 a 2 − 24 a b − 9 b 2 36x^2-16a^2-24ab-9b^2 36 x 2 − 16 a 2 − 24 ab − 9 b 2 a 2 − 1 + 2 b − b 2 a^2-1+2b-b^2 a 2 − 1 + 2 b − b 2 a 2 − 2 a − b 2 + 2 b a^2-2a-b^2+2b a 2 − 2 a − b 2 + 2 b ( a 2 − b 2 ) ( c 2 − d 2 ) − 4 a b c d (a^2-b^2) (c^2-d^2)-4abcd ( a 2 − b 2 ) ( c 2 − d 2 ) − 4 ab c d a 2 − b 2 − 4 a c + 4 b c a^2-b^2-4ac+4bc a 2 − b 2 − 4 a c + 4 b c ( a 2 − b 2 − c 2 + d 2 ) 2 − 4 ( a d − b c ) 2 (a^2-b^2-c^2+d^2)^2-4(ad-bc)^2 ( a 2 − b 2 − c 2 + d 2 ) 2 − 4 ( a d − b c ) 2 3 x 2 − y 2 + z 2 − 2 x y − 4 x z 3x^2-y^2+z^2-2xy - 4xz 3 x 2 − y 2 + z 2 − 2 x y − 4 x z
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি-
(i) 81 x 4 + 4 y 4 81x^4+4y^4 81 x 4 + 4 y 4 p 4 − 13 p 2 q 2 + 4 q 4 p^4-13p^2q^2+4q^4 p 4 − 13 p 2 q 2 + 4 q 4 x 8 − 16 y 8 x^8-16y^8 x 8 − 16 y 8 x 4 + x 2 y 2 + y 4 x^4+x^2y^2+y^4 x 4 + x 2 y 2 + y 4 3 x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 3x^4+2x^2y^2-y^4 3 x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 x 4 + x 2 + 1 x^4+x^2+1 x 4 + x 2 + 1 x 4 + 6 x 2 y 2 + 8 y 4 x^4+6x^2y^2+8y^4 x 4 + 6 x 2 y 2 + 8 y 4 3 x 2 − y 2 + z 2 − 2 x y − 4 x z 3x^2-y^2+z^2-2xy-4xz 3 x 2 − y 2 + z 2 − 2 x y − 4 x z 3 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 3x^4- 4x^2y^2+y^4 3 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 p 4 − 2 p 2 q 2 − 15 q 4 p^4-2p^2q^2-15q^4 p 4 − 2 p 2 q 2 − 15 q 4 x 8 + x 4 y 4 + y 8 x^8+x^4y^4+y^8 x 8 + x 4 y 4 + y 8