11. ভগ্নাংশের বর্গমূল

আমরা নানান ধরনের রঙিন কার্ড তৈরি করছি। আমাদের মধ্যে অনেকে ভালো আঁকতে পারে। তারা এই কার্ডে অনেক ছবি আঁকছে। আমরা অনেকে ভালো আঁকতে পারি না। কিন্তু কাগজ কেটে নানান নকশা তৈরি করতে পারি। তাই আমরা ঠিক করেছি সমান মাপের অনেকগুলি নানান রঙের বর্গাকার কাগজ কাটব। আমরা নানান মাপের বড়ো বর্গাকার কাগজে ছোটো ছোটো বর্গ এঁকে নিলাম যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 1 সেমি. ও রং করলাম।

রেহানা করল →

দেখছি, রেহানা তার বর্গাকার কাগজকে 49 টি সমান ছোটো ছোটো বর্গে ভাগ করে কিছু ঘরে লাল রং, কিছু ঘরে নীল রং ও কিছু ঘরে সবুজ রং দিল।

2 সেমি.

7 সেমি.

রেহানার বর্গাকার কাগজের ক্ষেত্রফল 49 বর্গসেমি. লাল রং দিল → $\frac{4}{49}$ অংশে। অর্থাৎ 49 টি সমান ভাগের 4 ভাগ। আবার লাল রং দেওয়া অংশটিও একটি বর্গক্ষেত্র। এই বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বড়ো বর্গক্ষেত্রেটির বাহুর দৈর্ঘ্যের $\frac{2}{7}$ অংশ অর্থাৎ সমান 7 ভাগের 2 ভাগ।

বর্গাকার লাল ঘরের অংশ → $\frac{4}{49}$

লাল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বড়ো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের $\frac{4}{49}$ অংশ।

লাল বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বড়ো বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের $\sqrt{\frac{4}{49}}$ অংশ।

💡 কিন্তু ভগ্নাংশের বর্গমূল কীভাবে পাব অর্থাৎ $\sqrt{\frac{4}{49}}$-এর মান কীভাবে পাব।

$\sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{2 \times 2}}{\sqrt{7 \times 7}} = \frac{\sqrt{2^2}}{\sqrt{7^2}} = \frac{2}{7}$

অর্থাৎ ভগ্নাংশের বর্গমূল করার ক্ষেত্রে আলাদাভাবে লব ও হরের বর্গমূল করা হয়।

∴ লাল বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহুর দৈর্ঘ্য বড়ো বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের $\frac{2}{7}$ অংশ।

আবার $(\frac{2}{7})^2 = \frac{2^2}{7^2} = \frac{4}{49}$

---

ভগ্নাংশের বর্গমূল

অধ্যায়: 11

কাগজে নীল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বড়ো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের = $\frac{\square}{\square}$ অংশ।

নীল বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বড়ো বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের = $\sqrt{\frac{9}{49}}$ অংশ = $\frac{9}{49}$ অংশ = $\frac{\square}{\square}$ অংশ

আবাব, $(\frac{3}{7})^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$

একইভাবে রেহানার বর্গাকার কাগজে সবুজ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বড়ো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের $\frac{\square}{\square}$ অংশ।

∴ সবুজ বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বড়ো বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের= $\sqrt{\frac{\square}{\square}}$ অংশ = $\frac{\square}{\square}$ অংশ

আবার, $(\frac{4}{8})^2 = \frac{\square}{\square} = \frac{\square}{\square}$

রেহানা লাল, নীল ও সবুজ ঘরগুলি কেটে নিল।

পীযুষ করল →

পীযূষের হলুদ রঙের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বড়ো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের $\frac{\square}{\square}$ অংশ।

হলুদ রঙের বর্গাকার ক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য বড়ো বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের $\sqrt{\frac{\square}{\square}}$ অংশ = $\frac{\square}{\square}$ অংশ

এবার বর্গাকার ঘর না এঁকে বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহুর দৈর্ঘ্য বের করি

20. 🧪 50 বর্গসেমি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহুর দৈর্ঘ্য কী হবে হিসাব করি।

1 টি বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{\frac{32}{50}}$ সেমি. = $\sqrt{\frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{5 \times 5}}$ সেমি. = $\frac{\sqrt{2^2 \times 2^2}}{\sqrt{5^2}}$ সেমি. = $\frac{2 \times 2}{5}$ সেমি. = $\frac{4}{5}$ সেমি.

3. 🧪 121 বর্গসেমি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কী হবে হিসাব করি।

144 বর্গসেমি. ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য

$= \sqrt{\frac{121}{144}}$ সেমি. = $\sqrt{\frac{11 \times 11}{2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2 \times 3}}$ সেমি. = $\sqrt{\frac{11^2}{12^2}}$ সেমি. = $\frac{11}{12}$ সেমি.

---

অধ্যায় : 11

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

নিজে করি-11.1

1. নীচের ভগ্নাংশগুলির বর্গ করি:

(i) $\frac{4}{5}$ (ii) $\frac{6}{7}$ (iii) $\frac{10}{11}$ (iv) $\frac{9}{12}$ (v) $\frac{16}{15}$

2. নীচের ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল করি:

(i) $\frac{9}{25}$ (ii) $\frac{36}{64}$ (iii) $\frac{121}{100}$ (iv) $\frac{144}{169}$ (v) $\frac{225}{289}$

4. 💡 যদি $\sqrt{\frac{9}{32}}$-এর বর্গমূল করতে চাই তাহলে কীভাবে করব দেখি।

$\sqrt{\frac{9}{32}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{32}} = \frac{\sqrt{3 \times 3}}{\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}} = \frac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{2^2 \times 2^2 \times 2}}$

32 পূর্ণবর্গসংখ্যা নয়। কারণ 32 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই $32 = 2^2 \times 2^2 \times 2^1$ এই রকম ভগ্নাংশকে কী বলব?

যেমন, $\frac{9}{36}$, $\frac{4}{49}$ এইসব ভগ্নাংশের লব ও হরে পূর্ণবর্গ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা আছে। তাই এরা পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ। কিন্তু $\frac{9}{32}$ এইরকম ভগ্নাংশ পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়। বুঝেছি, 32 একটা পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়।

5. 📝 $\frac{9}{32}$-কে পূর্ণবর্গ করতে হলে কোন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করব দেখি।

32-এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণে দুইটি $2^2$ পূর্ণবর্গসংখ্যা এবং একটি উৎপাদক 2 আছে, যা পূর্ণবর্গ নয়। তাই $\frac{9}{32}$-কে 2 দিয়ে গুণ করে পাই, $\frac{9}{32} \times 2 = \frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2$ একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ।

∴ $\frac{9}{32}$-কে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\boxed{2}$ দিয়ে গুণ করলে পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ পাব।

6. 📝 আমি যদি $\frac{9}{32}$-কে 2 দিয়ে ভাগ করি কী পাই দেখি।

$\frac{9}{32} \div 2 = \frac{9}{32 \times 2} = \frac{9}{64} = \frac{3^2}{8^2} = (\frac{3}{8})^2$ একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ।

∴ $\frac{9}{32}$-কে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\boxed{2}$ দিয়ে ভাগ করলে পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ পাব।

7. 📝 $\frac{36}{243}$ পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ কিনা দেখি এবং কীভাবে পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ পাব হিসাব করে দেখি।

$\frac{36}{243} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} = \frac{2^2 \times 3^2}{3^2 \times 3^2 \times 3}$

$\\frac{36}{243}$-এর হরের মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণে দুইটি পূর্ণবর্গসংখ্যা $3^2$ এবং একটি উৎপাদক 3 আছে যা পূর্ণবর্গ নয়। তাই $\frac{36}{243}$ পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ নয়।

∴ $\frac{36}{243}$-কে পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ করতে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\boxed{3}$ দিয়ে গুণ করতে হবে।

আবার $\frac{36}{243}$-কে পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ করতে ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $\boxed{3}$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

---

ভগ্নাংশের বর্গমূল

অধ্যায় : 11

নিজে করি-11.2

1. কোন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করলে নীচের ভগ্নাংশগুলি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ হবে তা নির্ণয় করি।

(i) $\frac{64}{147}$ (ii) $\frac{25}{162}$ (iii) $\frac{100}{128}$ (iv) $\frac{81}{288}$

2. কোন ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে নীচের ভগ্নাংশগুলি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ হবে তা নির্ণয় করি।

(i) $\frac{450}{625}$ (ii) $\frac{320}{121}$ (iii) $\frac{245}{64}$ (iv) $\frac{243}{144}$

8. 💡 যদি ভগ্নাংশের লব ও হরের বর্গমূল ভাগ প্রক্রিয়ায় করি। তবে কী সুবিধা হয় দেখি।

$\sqrt{\frac{1764}{5625}}$-এর বর্গমূল অর্থাৎ $\sqrt{\frac{1764}{5625}}$-এর মান ভাগ প্রক্রিয়ায় খুঁজি।

  42
4|1764
  -16
  ---
82| 164
   -164
   ----
     0

এবং

   75
7|5625
  -49
  ---
145| 725
    -725
    ----
      0

∴ $\sqrt{1764} = 42$

∴ $\sqrt{5625} = 75$

পেলাম, $\sqrt{\frac{1764}{5625}} = \frac{\sqrt{1764}}{\sqrt{5625}} = \frac{42}{75}$

দেখছি, ভগ্নাংশের লব ও হরে বড়ো সংখ্যা থাকলে ভাগ প্রক্রিয়ায় বর্গমূল করলে সুবিধা হয়।

এবার আমি $\sqrt{\frac{4761}{5329}}$-এর মান ভাগ প্রক্রিয়ায় খুঁজব।

   69
6|4761
  -36
  ---
129|1161
   -1161
   -----
       0

∴ $\sqrt{4761} = 69$

   73
7|5329
  -49
  ---
143|429
   -429
   -----
      0

∴ $\sqrt{5329} = 73$

∴ $\sqrt{\frac{4761}{5329}} = \frac{\sqrt{4761}}{\sqrt{5329}} = \frac{69}{73}$

---

অধ্যায় : 11

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

9. 📝 আমি $\sqrt{\frac{625}{144}}$-এর বর্গমূলকে কোন সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে 1 পাব হিসাব করে দেখি।

প্রথমে $\sqrt{\frac{625}{144}}$-এর বর্গমূলের মান হিসাব করে লিখি।

$\sqrt{\frac{625}{144}}$-এর বর্গমূল অর্থাৎ $\sqrt{\frac{625}{144}} = \frac{\sqrt{625}}{\sqrt{144}} = \frac{25}{12}$

এবার, $\frac{25}{12}$-কে কত দিয়ে গুণ করলে 1 পাব দেখি।

$1 \div \frac{25}{12} = 1 \times \frac{12}{25} = \frac{12}{25}$

∴ $\frac{25}{12}$-কে $\frac{12}{25}$ দিয়ে গুণ করলে $\boxed{1}$ পাব।

10. 📝 $\sqrt{\frac{625}{144}}$-এর বর্গমূল অর্থাৎ $\frac{25}{12}$-কে কত দিয়ে গুণ করলে 5-এর বর্গ পাব হিসাব করি।

5-এর বর্গ = $5^2 = 25$

$\frac{25}{12}$-কে কত দিয়ে গুণ করলে 25 পাব দেখি।

$25 \div \frac{25}{12} = 25 \times \frac{12}{25} = 12$

অর্থাৎ, $\frac{25}{12}$-কে 12 দিয়ে গুণ করলে 5-এর বর্গ পাব।

কষে দেখি- 11.1

1. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{1089}{625}$ বর্গসেমি.। বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি. হবে হিসাব করি।

2. নীচের ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল নির্ণয় করি।

(i) $3 \frac{22}{49}$ (ii) $1 \frac{375}{1215}$ (iii) $6 \frac{433}{676}$ (iv) $1 \frac{496}{729}$ (v) $3 \frac{324}{576}$

3. $\sqrt{169}$-এর বর্গমূলকে কত দিয়ে গুণ করলে গুণফল 1 হবে হিসাব করি।

4. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার একটি অপরটির 2 গুণ। সংখ্যা দুটির গুণফল $1 \frac{17}{32}$ হলে সংখ্যা দুটি কী কী হবে নির্ণয় করি।

---

ভগ্নাংশের বর্গমূল

অধ্যায় : 11

5. হিসাব করে দেখি কোন ভগ্নাংশকে সেই ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফল $\frac{145}{256}$ হবে।

6. হিসাব করে দেখি $\frac{9}{49}$-কে কোন ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের বর্গমূল 1 হবে।

7. হিসাব করে দেখি $\frac{35}{42}$-কে কোন ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের বর্গমূল 2 হবে।

8. $\frac{9}{10}$-কে সবচেয়ে ছোটো কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফলটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা নির্ণয় করি।

9. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল $\frac{14}{15}$ এবং তাদের ভাগফল $\frac{35}{24}$ হলে, সংখ্যা দুটি কী কী হবে তা নির্ণয় করি।

10. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল $\frac{16}{50}$ এবং তাদের ভাগফল $\frac{1}{2}$ হলে, সংখ্যা দুটি কী কী হবে তা নির্ণয় করি।

11. $\sqrt{\frac{9}{64} + \frac{25}{64}}$-এর মান কত হবে হিসাব করি।

12. $\sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{\frac{1}{9}} - \sqrt{\frac{1}{16}} - \sqrt{\frac{1}{25}}$-এর মান কত হবে হিসাব করি।

13. $\sqrt{\frac{1}{16}}$, $\sqrt{\frac{1}{25}}$, $\sqrt{\frac{1}{36}}$, $\sqrt{\frac{1}{49}}$-কে মানের অধঃক্রমে সাজাই।

14. $(\sqrt{16} + \sqrt{36})$-এর চেয়ে $(\sqrt{25} + \sqrt{81})$ কত বেশি হিসাব করি।

15. ভগ্নাংশগুলির বর্গমূল করি –

(i) $3 \frac{22}{49}$ (ii) $7 \frac{57}{256}$ (iii) $10 \frac{89}{2025}$ (iv) $3 \frac{814}{1225}$

---

অধ্যায় : 11

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

দশমিক সংখ্যার বর্গমূল

আমাদের পাড়ার ক্লাব ঘরের মেঝে ছোটো ছোটো লাল ও কালো বর্গাকার টালি দিয়ে ভরাট করা হয়েছে। 100 টি টালি বর্গাকারে সাজানো হয়েছে। তবে মেঝের মাঝে নীচের মতো 0.5 × 0.5 অংশে কালো টালি আছে।

0.5 × 0.5 = 0.25 ∴ $(0.5)^2 = 0.25$

12. 💡 যদি 0.12 × 0.12 অংশে সবুজ রঙের টালি থাকত, তবে মেঝের কত অংশে সবুজ রঙের টালি থাকত হিসাব করি।

0.12 × 0.12 = 0.0144 অংশে।

∴ $(0.12)^2 = 0.0144$

আবার, 0.15 × 0.15 = 0.0225

∴ $(0.15)^2 = \boxed{0.0225}$

0.25, 0.0144, 0.0225 পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা

0.25 -এর বর্গমূল বা $\sqrt{0.25} = 0.5$

0.0144-এর বর্গমূল বা $\sqrt{0.0144} = 0.12$

0.0225-এর বর্গমূল বা $\sqrt{0.0225} = \boxed{0.15}$

দেখছি, পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যায় দশমিকের পরে জোড় সংখ্যক অঙ্ক আছে।

পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা	পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যার দশমিকের পরে অঙ্ক সংখ্যা	পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যার বর্গমূলে দশমিক কিদুর পরে অঙ্ক সংখ্যা
0.6 × 0.6 = 0.36	2	1
0.9 × 0.9 = $\boxed{0.81}$	$\boxed{2}$	$\boxed{1}$
0.16 × 0.16 = $\boxed{0.0256}$	4	2
0.27 × 0.27 = $\boxed{0.0729}$	$\boxed{4}$	$\boxed{2}$
0.115 × 0.115 = $\boxed{0.013225}$	$\boxed{6}$	$\boxed{3}$

---

ভগ্নাংশের বর্গমূল

অধ্যায় : 11

পেলাম, কোনো দশমিক সংখ্যায় যদি দশমিক বিন্দুর পরে বিজোড় সংখ্যক অঙ্ক থাকে তাহলে সেই দশমিক সংখ্যা কখনোই পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা হবে না।

এবার দশমিক পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল করার চেষ্টা করি।

13. 📝 0.81-এর বর্গমূল খুঁজি।

$\sqrt{0.81}$-এর দশমিক বর্জিত অখণ্ড সংখ্যা 81 $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^2 \times 3^2$ ∴ $\sqrt{81} = 3 \times 3 = 9$

যেহেতু পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা 0.81-এ দশমিকের পরে $\boxed{2}$ টি অঙ্ক আছে, তাই 0.81-এর বর্গমূলে দশমিকের ডানপাশে $\boxed{1}$ টি অঙ্ক থাকবে।

∴ $\sqrt{0.81} = 0.9$

আমি অন্যভাবে ভগ্নাংশে প্রকাশ করে 0.81 -এর মান লিখি।

$\sqrt{0.81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 3}}{\sqrt{2 \times 5 \times 2 \times 5}} = \frac{3 \times 3}{2 \times 5} = \frac{9}{10} = 0.9$

∴ 0.81-এর বর্গমূল = 0.9

14. 📝 1.69 -এর বর্গমূল খুঁজি

1.69-এর দশমিক বর্জিত অখণ্ড সংখ্যা = 169

$169 = 13 \times 13$ ∴ $\sqrt{169} = 13$

যেহেতু, পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা 1.69-এ দশমিকের পরে $\boxed{2}$ টি অঙ্ক আছে, তাই 1.69-এর বর্গমূলে দশমিকের ডানপাশে $\boxed{1}$ টি অঙ্ক থাকবে।

∴ $\sqrt{1.69} = 1.3$

অন্যভাবে ভগ্নাংশে প্রকাশ করে 1.69 -এর মান লিখি

$\sqrt{1.69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{\sqrt{13 \times 13}}{\sqrt{2 \times 5 \times 2 \times 5}} = \frac{13}{2 \times 5} = \frac{13}{10} = 1.3$

∴ 1.69-এর বর্গমূল = 1.3

15. 📝 0.1225-এর বর্গমূল লিখি

0.1225-এর দশমিক বর্জিত অখণ্ড সংখ্যা = $\boxed{1225}$

$1225 = 5 \times 5 \times 7 \times 7 = 5^2 \times 7^2$ ∴ $\sqrt{1225} = 5 \times 7 = 35$

যেহেতু পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা 0.1225-এ দশমিকের পরে $\boxed{4}$ টি অঙ্ক আছে, তাই 0.1225-এর বর্গমূলে দশমিকের ডানপাশে $\boxed{2}$ টি অঙ্ক থাকবে।

∴ $\sqrt{0.1225} = 0.35$

অন্যভাবে ভগ্নাংশে প্রকাশ করে 0.1225-এর মান লিখি।

$\sqrt{0.1225} = \sqrt{\frac{0.1225 \times 10000}{10000}} = \sqrt{\frac{1225}{10000}} = \frac{\sqrt{5 \times 5 \times 7 \times 7}}{\sqrt{2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5 \times 2 \times 5}} = \frac{\sqrt{5^2 \times 7^2}}{\sqrt{2^2 \times 2^2 \times 5^2 \times 5^2}} = \frac{5 \times 7}{2 \times 2 \times 5 \times 5} = \frac{35}{100} = 0.35$

∴ $\sqrt{0.1225}$-এর বর্গমূল = 0.35

---

অধ্যায় : 11

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

নিজে করি-11.3

1. নীচের দশমিক সংখ্যার বর্গের মান লিখি

(i) 0.7 (ii) 0.16 (iii) 0.08 (iv) 0.25

2. দশমিক বিন্দুর পরে অঙ্ক সংখ্যার বিচারে নীচের দশমিক সংখ্যার মধ্যে কোনগুলি পূর্ণবর্গ দশমিক সংখ্যা দেখি

(i) 22.5 (ii) 1.44 (iii) 62.5 (iv) 12.1

3. নীচের দশমিক সংখ্যার বর্গমূলের মান নির্ণয় করি-

(i) 4.41 (ii) 2.25 (iii) 0.0256 (iv) 0.0484

ভাগ পদ্ধতিতে ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার বর্গমূল করেছি। কিন্তু ভাগ পদ্ধতিতে দশমিক সংখ্যার বর্গমূল করতে পারি কিনা দেখি।

16. 📝 0.0121-এর বর্গমূল ভাগ পদ্ধতিতে কীভাবে সম্ভব চেষ্টা করি।

  0.11
  ------
1|0.0121
 -0
 ----
1  | 01
   -0
   ----
21|  121
   -121
   -----
      0

বর্গমূলের জন্য দশমিকের পরে জোড় সংখ্যা রাখতে হবে। তাই দশমিকের ডানদিক থেকে দুটি করে সংখ্যার মাথায় তিরচিহ্ন দিলাম (জোড়া না হলে '০' দিয়ে জোড়া করা হয়) ও অখণ্ড সংখ্যার ক্ষেত্রে যে নিয়মে ভাগপদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করেছি সেই ভাবেই এগোলাম।

∴ ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{0.0121} = 0.11$

$\sqrt{1.21}$-এর মান ভাগ পদ্ধতিতে কীভাবে পাই দেখি।

অখণ্ড সংখ্যার ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূলের সময়ে ডানদিক থেকে বামদিকে দুটি সংখ্যার মাথায় তিরচিহ্ন দেওয়া হয়।

  1.1
  -----
1|1.21
 -1
 ---
21| 21
   -21
   ----
     0

পেলাম, ∴ $\sqrt{1.21} = 1.1$

---

ভগ্নাংশের বর্গমূল

অধ্যায়: 11

ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{0.050625}$, $\sqrt{0.000324}$, $\sqrt{85.3776}$, $\sqrt{3.4596}$ ও $\sqrt{0.8836}$-এর মান লিখি

   0.225
   --------
2|0.050625
 -0
 ----
4 | 05
  -4
  ---
42| 106
   -84
   ----
445| 2225
    -2225
    -----
        0

∴ $\sqrt{0.050625} = 0.225$

   0.018
   --------
0|0.000324
 -0
 ----
0| 00
  -0
  ---
1|  03
   -1
   ----
28|  224
    -224
    -----
       0

∴ $\sqrt{0.000324} = 0.018$

   9.24
   --------
3|85.3776
 -81
 ----
9|  437
  -368  (Note: Original has 186. This is from 28 x 6. Let's follow calculation 92*4 = 368)
  -----
182|   6976
    - 736  (Note: Original has 245. This is 184 x 4 = 736. The image calculation is flawed for the 85.3776 example, showing 9.24 in my transcription, but the problem shows 3.4596 = 1.86. I will transcribe what is shown for the solution to 3.4596)
    ------

Corrected transcription for $\sqrt{3.4596}$ as shown in image:

  1.86
  ------
1|3.4596
 -1
 ----
28|245
   -224
   -----
366|2196
   -2196
   -----
      0

∴ $\sqrt{3.4596} = 1.86$

নিজে করি-11.4

নীচের দশমিক সংখ্যার ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করি।

1. 0.000256 2) 0.045369 3) 1.0609 4) 75.69

যে সব সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয় তাদের ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল করার চেষ্টা করি ও তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান খুঁজি।

17. 📝 আমি $\sqrt{2}$-এর বর্গমূল করার চেষ্টা করি।

2-কে 1 দিয়ে ভাগ করলে দশমিকের পর থেকে প্রতিবার 1 টি শূন্য নামাতে পারি। কিন্তু ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূলের ক্ষেত্রে দশমিকের পর থেকে কটি শূন্য নামাতে পারব?

   1.4142
   -----------
1|2.00000000
 -1
 ----
24|100
   -96
   ----
281|400
    -281
    -----
2824|11900
    -11296
    ------
28282|  60400
       -56564
       ------
         3836

[ দশমিকের পর থেকে প্রথমে দুটি শূন্য পেলাম ]

[ দশমিকের পর থেকে পরের দুটি শূন্য পেলাম ]

[ দশমিকের পর থেকে তারপরের দুটি শূন্য পেলাম ]

$\sqrt{2}$-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান 1.414

$\sqrt{2}$-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান $\boxed{1.41}$ [নিজে করি]

---

অধ্যায় : 11

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

আমি ভাগ পদ্ধতিতে $\sqrt{3}$-এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান কি পাই দেখি

   1.73205
   -------------
1|3.0000000000
 -1
 ----
27|200      <-- [ দশমিকের পর থেকে প্রথমে দুটি শূন্য পেলাম ]
   -189
   -----
343|1100     <-- [ দশমিকের পর থেকে পরের দুটি শূন্য পেলাম ]
    -1029
    ------
3462| 7100    <-- [ দশমিকের পর থেকে তারপরের দুটি শূন্য পেলাম ]
     -6924
     -------
346405| 1760000  <-- [ভাগ যাচ্ছে না বলে দশমিক থেকেশেষের দুজোড়া শূন্য পেলাম]
      -1732025
      ---------
        27975

∴ $\sqrt{3}$-এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান 1.7321

এবং $\sqrt{3}$-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান $\boxed{1.73}$ [নিজে করি]

নিজে করি-11.5

$\sqrt{5}$ ও $\sqrt{7}$-এর দুই ও তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করি।

কষে দেখি-11.2

1. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 32.49 বর্গসেমি.। এই বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি. হবে হিসাব করি।

2. 2.1214 বর্গমিটার এবং 2.9411 বর্গমিটার বিশিষ্ট দুটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করি।

3. 0.28-এর সাথে কোন দশমিক সংখ্যা যোগ করলে যোগফলের বর্গমূল 1 হবে হিসাব করি।

4. 0.162 এবং 0.2-এর গুণফলের বর্গমূল কত হবে হিসাব করে লিখি।

5. $\sqrt{240.25} + \sqrt{2.4025} + \sqrt{0.024025}$-এর মান কী হবে হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।

6. 1.4641 বর্গমিটার ও 1.0609 বর্গমিটার ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে কোন বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বেশি ও কত বেশি হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।

7. 0.4-এর বর্গের সঙ্গে 0.3-এর বর্গ যোগ করলে যে যোগফল পাব তা যে সংখ্যার বর্গের সমান সেই সংখ্যাটি কী হবে নির্ণয় করি।

---

ভগ্নাংশের বর্গমূল

অধ্যায় : 11

8. ভাগ পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করি।

(i) 2.56 (ii) 4.84 (iii) 5.76 (iv) 6.76 (v) 0.045369 (vi) 0.000169 (vii) 76.195441 (viii) 170.485249 (ix) 5505.64

9. কোন দশমিক সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল 1.1025 হবে তা নির্ণয় করি।

10. 0.75 -এর সাথে কোন দশমিক সংখ্যা যোগ করলে তার বর্গমূল 2 হবে তা নির্ণয় করি।

11. 48.09 থেকে কোন দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফলের বর্গমূল 5.7 হবে তা নির্ণয় করি।

12. 0.000328 থেকে কোন ক্ষুদ্রতম দশমিক সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা (ছয় দশমিক স্থান পর্যন্ত) হবে তা নির্ণয় করি।

13. নীচের সংখ্যাগুলির আসন্ন মান লিখি।

(i) $\sqrt{6}$ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত) (ii) $\sqrt{8}$ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত) (iii) $\sqrt{11}$ (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত) (iv) $\sqrt{12}$ (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)

14. $\sqrt{15}$-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান লিখি। এই আসন্ন মানের বর্গ করি ও এই বর্গ 15-এর চেয়ে কত কম বা বেশি হিসাব করি।