3. সমানুপাত

সোফির কাছে 24 টি কুল আছে। মানুর কাছে 18 টি জাম আছে। সোফি 4 টি কুল মানুকে দিল। কিন্তু মানু 3 টি জাম সোফিকে দিল।

আমি বেশি সংখ্যক কুল দিলাম, কিন্তু কম সংখ্যক জাম পেলাম। আমরা কীভাবে ভাগ করলাম দেখি।

সোফির মোট কুলের সংখ্যা : দেওয়া কুলের সংখ্যা = 24 : 4 $= 6:1$ মানুর মোট জামের সংখ্যা: দেওয়া জামের সংখ্যা = $\boxed{}$ : $\boxed{}$ $= 6:1$ এবার বুঝলাম উভয়ক্ষেত্রের অনুপাত একই।

আজ মানু 4 টি পেন কিনল 28 টাকায়। সোফি 12 টি পেন কিনল। কিন্তু সোফিকে 84 টাকা দিতে হলো। কার পেনের দাম বেশি হিসাব করি

গণিতের ভাষায় লিখি,

পেনের সংখ্যা (টি)	পেনের দাম (টাকা)
4	28
12	84

আমাদের পেনের সংখ্যার অনুপাত = 4 : 12 $= \_ : \_$ অর্থাৎ মানুর পেনের সংখ্যা : সোফির পেনের সংখ্যা = 1 : 3

কিন্তু মানুর পেনের দাম : সোফির পেনের দাম = 28 : 84 $= \_ : \_$

দুটি অনুপাতই $\boxed{}$ অর্থাৎ দুজনের পেনের দাম সমান। যেহেতু 4 : 12 ও 28 : 84 সমান। তাই 4,12,28 ও 84 $\boxed{}$ আছে।

লিখব 4 : 12 : :28:84

যেহেতু 4, 12, 28, 84 সমানুপাতে আছে তাই এর পদগুলি যেমন 4, 12, 28, 84 সমানুপাতী পদ। এখানে 4 হলো $\boxed{}$ পদ, 12 $\boxed{}$ পদ, 28 $\boxed{}$ পদ ও 84 $\boxed{}$ পদ।

---

সমানুপাত

অধ্যায় : 3

4 ও 84 -এর অন্য নাম আছে। 4 ও 84 -কে এই সমানুপাতের $\boxed{}$ পদ বলা হয় এবং 12 ও 28 -কে $\boxed{}$ পদ বলে 4 : 12 :: 28 : 84 -এই সমানুপাতের চারটি পদের প্রথম পদ $\times$ $\boxed{}$ পদ = দ্বিতীয় পদ $\times$ $\boxed{}$ পদ

1️⃣ আজ আমার বাবা সকালবেলা 5 কিগ্রা. চাল 255 টাকায় কিনে এনেছেন। কিন্তু আমার কাকা 410 টাকায় 10 কিগ্রা. চাল কিনেছেন। দুজনে একই দামের চাল কিনেছেন কিনা হিসাব করে দেখি।

বাবার কেনা চালের পরিমাণ: কাকার কেনা চালের পরিমাণ = 5 : 10 = $\boxed{}$ : $\boxed{}$ বাবার কেনা চালের দাম : কাকার কেনা চালের দাম = 255 : 410 = 51:82 দেখছি অনুপাত দুটি সমান নয় অর্থাৎ পদ চারটি সমানুপাতে নেই। তাই বাবা ও কাকার কেনা চালের দাম আলাদা।

2️⃣ 6 সেমি. ও 8 সেমি. লম্বা দুটি লাঠির ছায়ার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সেমি. ও 20 সেমি.। লাঠির দৈর্ঘ্যের সাথে ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত সমান কিনা দেখি।

দুটি লাঠির দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 6 : 8 $= 3:4$

লাঠি দুটির ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 15 : 20 $= 3:4$

∴ দুটি অনুপাত সমান অর্থাৎ লাঠির দৈর্ঘ্য ও তার ছায়ার দৈর্ঘ্য $\boxed{}$ আছে।

নিজে করি-3.1

1. নীচের অনুপাতগুলি সমান কিনা দেখি ও চারটি সংখ্যা সমানুপাতী কিনা লিখি: (a) 7 : 2 এবং 28 : 8 (b) 9 : 7 এবং 18 : 14 (c) 1.5 : 3 এবং 4.5 : 9 (d) 7 : 3 এবং 5 : 2 (e) 3ab : 4aq এবং 6b: 8q (f) 5.2 : 6.5 এবং 4 : 5 (g) 3y : 7y এবং 12p: 28p (h) 5pq : 7pr এবং 15s : 21q [যেখানে a, q, y, p, r শূন্য নয়]

2. একটি আয়তাকার চিত্রের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. এবং প্রস্থ 6 সেমি.। চিত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ 2 সেমি. বাড়ানো হলো। আয়তাকার চিত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ একই অনুপাত থাকবে কিনা দেখি।

3. পরাণবাবু 500 গ্রাম চিনি 17.50 টাকায় কিনলেন এবং দীপেনবাবু 2 কিগ্রা. চিনি 70 টাকায় কিনলেন। চিনির পরিমাণ ও দাম সমানুপাতে আছে কিনা দেখি।

4. ফাঁকা ঘর পূরণ করি: (i) 5:7 :: 25 : $\boxed{}$ (ii) 6:7:: $\boxed{}$ : 35 (iii) 21: 28 :: 3 : $\boxed{}$ (iv) 9 : 24 :: $\boxed{}$ : 8

---

অধ্যায় : 3

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

চারটি সংখ্যা সমানুপাতে আছে কিনা দেখি

3️⃣ 5, 7, 10 ও 14 নিয়ে সমানুপাত তৈরি করি।

5, 7, 10 ও 14 সমানুপাতে আছে কিনা দেখি—

10:14=5:7 ∴ 5:7:: 10:14

এখানে প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = $5 \times 14 = 70$ মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল = $7 \times 10 = 70$ ∴ প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল।

সুতরাং সংখ্যা চারটি সমানুপাতে আছে।

4️⃣ 5, 10, 7 ও 14 সমানুপাতে আছে কিনা দেখি—

5:10=1:2 7:14=1:2 ∴ 5:10 :: 7:14

এখানে প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = $5 \times 14 = \boxed{}$ মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল = $10 \times 7 = \boxed{}$

$\boxed{}$ প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল $\boxed{}$ মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল।

সুতরাং সংখ্যা চারটি সমানুপাতে আছে।

5️⃣ 7, 5, 14 ও 10 সমানুপাতে আছে কিনা দেখি—

7:5=14:10 ∴ 7:5:: 14:10

∴ 7, 5, 14 ও 10 $\boxed{}$ সমানুপাতে আছে।

এখানে প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = $7 \times 10 = 70$ মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল = $5 \times 14 = 70$

$\boxed{}$ প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল।

6️⃣ 10, 5, 14 ও 7 সমানুপাতে আছে কিনা দেখি—

10: 5 = 2 : 1, 14: 7= 2 : 1, ∴ 10: 5 = 14 : 7, ∴ 10:5 :: 14 :7

∴ চারটি সংখ্যা সমানুপাতে থাকবে, যদি প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল হয়। অর্থাৎ প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ = দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ

চারটি সংখ্যা সমানুপাতে থাকলে চারটি আলাদা সমানুপাত তৈরি করতে পারলাম। যেমন: (i) 5 : 7 :: 10:14 (ii) 5:10:: 7:14 (iii) 7:5:: 14:10 (iv) 10:5 :: 14 : 7

নিজে করি-3.2

1. নিজেরা যাচাই করি, 7, 5, 14 ও 10 সমানুপাতে আছে কিনা।
2. নিজেরা যাচাই করি, 10, 5, 14 ও 7 সমানুপাতে আছে কিনা।
3. নিজেরা যাচাই করি, 14, 5, 10 ও 7 সমানুপাতে আছে কিনা।

---

সমানুপাত

সংখ্যা দিয়ে সমানুপাত তৈরি করি

6️⃣ 2, 3, 4 ও 6 দিয়ে নানারকম সমানুপাত তৈরি করি

অধ্যায় : 3

সংখ্যাগুলি	প্রান্তপদদ্বয়	মধ্যপদদ্বয়	প্রান্তপদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল	সমানুপাত	ভগ্নাংশ আকারে পাই
2, 3, 4, 6	2, 6	3, 4	$2 \times 6 = 3 \times 4$	2:3 :: 4: 6	$2/3 = 4/6$
3, 2, 6, 4	3, 4	2, 6	$3 \times 4 = 2 \times 6$	3:2 :: 6:4	$3/2 = 6/4$
2, 4, 3, 6	2, 6	4, 3	$2 \times 6 = 4 \times 3$	2:4 :: 3:6	$2/4 = 3/6$
4, 2, 6, 3	4, 3	2, 6	$4 \times 3 = 2 \times 6$	4:2 :: 6:3	$4/2 = 6/3$

7️⃣ উপরের মতো ছক করে 5, 15, 10 ও 30 দিয়ে নানারকম সমানুপাত তৈরি করি [নিজে করি]

5, 15, 10, 30

8️⃣ 7, 8, 14 ও 16 দিয়ে নানারকম সমানুপাত তৈরি করি [নিজে করি]

7, 14, 8, 16

9️⃣ 9, 11, 27 ও 33 দিয়ে নানারকম সমানুপাত তৈরি করি [নিজে করি]

9, 11, 27, 33

অন্যভাবে দেখি, চারটি বীজগাণিতিক সংখ্যা সমানুপাতী হলে তাদের মধ্যে কী সম্পর্ক পাই

i) a, b, c ও d - এই চারটি অনির্দিষ্ট বীজগাণিতিক সংখ্যা (যাদের মান শূন্য নয়) সমানুপাতী হলে $a:b :: c:d$ হয় অর্থাৎ $a/b = c/d$ দুদিকে $b \times d$ গুণ করে পাই, $ad = bc$ হবে। অর্থাৎ প্রথমপদ $\times$ চতুর্থপদ = দ্বিতীয়পদ $\times$ তৃতীয়পদ

ii) $ad = bc$ বা $ad/(ab) = bc/(ab)$ [উভয়পক্ষে ab দ্বারা ভাগ করে] বা $d:b :: c:a$ ∴ $c:a:: d:b$

---

অধ্যায় : 3

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

iii) $ad = bc$ বা $ad/(ac) = bc/(ac)$ [উভয়পক্ষে ac দ্বারা ভাগ করে] বা $d:c:: b:a$ ∴ $b:a:: d:c$

iv) $ad = bc$ বা $ad/(cd) = bc/(cd)$ [উভয়পক্ষে cd দ্বারা ভাগ করে] ∴ $a:c:: b:d$

∴ প্রান্তীয়পদদুটির গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল হলেই সংখ্যা চারটি সমানুপাতী হবে এবং চারটি আলাদা সমানুপাত তৈরি করতে পারব।

যদি a, b, c, d চারটি অনির্দিষ্ট বীজগাণিতিক সমানুপাতী সংখ্যার (যাদের মান শূণ্য নয়) মধ্যপদদ্বয় সমান হয়, অর্থাৎ $b = c$ হয়, তবে কী পাব দেখি।

∴ $a:b :: b:d$ হবে, অর্থাৎ, $a/b = b/d$ অথবা, $ad = b^2$ হবে [উভয়দিকে $b \times d$ গুণ করে পাই]

আবার, প্রান্তীয় পদদ্বয় স্থানবিনিময় করলে পাব, $d : b = b : a$ অর্থাৎ, $d/b = b/a$ অথবা, $ad = b^2$ হবে [উভয়দিকে $b \times a$ গুণ করে পাই]

এই ধরনের অনুপাতকে কী বলব?

এই ধরনের অনুপাতকে ক্রমিক সমানুপাত বলা হয়

1️⃣0️⃣ 3, 6 ও 12 ক্রমিক সমানুপাতে আছে বলতে কী বুঝি দেখি।

3:6::6:12

এখানে প্রথম পদ 3, দ্বিতীয় পদ 6 ও তৃতীয় পদ 12 তাই ক্রমিক সমানুপাতে পেলাম, প্রথম পদ : দ্বিতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ : তৃতীয় পদ

যেমন, 3টি কলমের দাম 30 টাকা হলে 30টি কলমের দাম 300 টাকা। কলমের সংখ্যার অনুপাত 3 : 30 বা 1:10 কলমের দামের অনুপাত 30: 300 বা 1:10 সুতরাং, 3 : 30 :: 30 : 300 অর্থাৎ, 3, 30, 300 ক্রমিক সমানুপাতী।

---

সমানুপাত

অধ্যায় : 3

a, b ও c তিনটি অনির্দিষ্ট বীজগাণিতিক সংখ্যা (যাদের মান শূন্য নয়) ক্রমিক সমানুপাতী হলে তিনটি সংখ্যার মধ্যে কী সম্পর্ক পাব দেখি—

a, b ও c ক্রমিক সমানুপাতে আছে। ∴ $a:b=b:c$ ∴ $a \times c = b \times b$ ∴ $ac = b^2$

পেলাম, প্রথমপদ $\times$ তৃতীয় পদ = মধ্যপদের বর্গ বা (মধ্যপদ)$^2$

1️⃣1️⃣ 2, 4 ও 8 ক্রমিক সমানুপাতে আছে কিনা দেখি—

$2 \times 8 = 16 = (4)^2$ অর্থাৎ, প্রথম পদ $\times$ তৃতীয় পদ = (মধ্যপদ)$^2$ ∴ 2, 4, 8 ক্রমিক সমানুপাতে আছে।

অন্যভাবে, 2:4=1:2 4:8=1:2 ∴ 2:4::4:8 ∴ 2, 4, 8 ক্রমিক সমানুপাতে আছে

1️⃣2️⃣ 2, 6 ও 12 ক্রমিক সমানুপাতী কিনা দেখি—

$2 \times 12 = \boxed{}$ $6 \times 6 = \boxed{}$ যেহেতু প্রথম পদ $\times$ তৃতীয় পদ $\neq$ $\boxed{}^2$ ∴ 2, 6 ও 12 ক্রমিক সমানুপাতে নেই।

অন্যভাবে, 2:6 = $\boxed{}$ : $\boxed{}$ 6:12 = $\boxed{}$ : $\boxed{}$ ∴ 2:6 $\neq$ 6:12 ∴ 2,6, 12 ক্রমিক সমানুপাতে নেই

নিজে করি-3.3

নীচের সংখ্যাগুলি ক্রমিক সমানুপাতে আছে কিনা দেখি এবং সমানুপাতটি লিখি (i) 5, 10, 20 (ii) 8, 4, 2 (iii) 7, 14, 28 (iv) 81, 9, 18 (v) 4, 6, 12 (vi) 4, 10, 25

সমানুপাতে থাকা সংখ্যাগুলির মধ্যে না থাকা একটি সংখ্যা খুঁজি

1️⃣3️⃣ চারটি সমানুপাতী সংখ্যার তিনটি পদ দেওয়া থাকলে চতুর্থ পদটি জানার চেষ্টা করি প্রথম পদ 3, দ্বিতীয় পদ 6, তৃতীয় পদ 7 হলে চতুর্থ পদটি জানার চেষ্টা করি।

3 : 6 :: 7 : চতুর্থ পদ ∴ $3/6 = 7/\text{চতুর্থ পদ}$ লিখতে পারি, $3/6 = 1/2 = 7/\boxed{}$ ∴ চতুর্থ পদ = 14

অন্যভাবে, প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ = দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ ∴ প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ = $6 \times 7 = 42$ আমরা জানি দুটি সংখ্যার গুণফল 42, একটি সংখ্যা 3 হলে, অপর সংখ্যা = $42 \div 3 = 42/3 = 14$ ∴ চতুর্থ পদ = 14

চতুর্থ পদ = (দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ) / প্রথম পদ

---

অধ্যায় : 3

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

1️⃣4️⃣ $\boxed{}$, 8, 30, 20 - সংখ্যা চারটি যদি সমানুপাতে থাকে, প্রথম পদ কী হবে হিসাব করি।

প্রথম পদ : 8 :: 30:20 ∴ প্রথমপদ / 8 = 30 / 20 = 3/2 ∴ প্রথমপদ / 8 = 3/2 প্রথমপদ = 12

অন্যভাবে, প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ = দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ ∴ প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ = $8 \times 30 = 240$ চতুর্থ পদ = 20 ∴ প্রথম পদ = $240 / 20 = 12$

প্রথম পদ = (দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ) / চতুর্থ পদ

1️⃣5️⃣ যদি কোনো সমানুপাতে তৃতীয় পদ না থাকে অর্থাৎ 5:8 :: * : 64 হয়, তাহলে এই সমানুপাতে * (না থাকা সংখ্যা) পদটি অর্থাৎ তৃতীয় পদটি কী হবে হিসাব করে লেখার চেষ্টা করি।

5:8 :: $\boxed{}$ :64

লিখতে পারি, 5/8 = $\boxed{}$ / 64

∴ ভগ্নাংশের সমতুল্যতা থেকে পাই, তৃতীয় পদ (*) = 40

অন্যভাবে, প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ = দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ ∴ দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ = প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ $8 \times$ তৃতীয় পদ = $5 \times 64$ ∴ তৃতীয় পদ = $(5 \times 64) / 8 = 40$

তৃতীয় পদ = (প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ) / দ্বিতীয় পদ

এবার সমানুপাতের অন্য তিনটি পদের মান থেকে দ্বিতীয় পদের মান কীভাবে পাব দেখি।

1️⃣6️⃣ 16:*:: 12:3 হয়, তাহলে এই সমানুপাতে * (না থাকা সংখ্যা) পদটি অর্থাৎ দ্বিতীয়পদ খুঁজি।

16 : * :: 12 : 3 ভগ্নাংশে পাই, 16/$\boxed{}$ = 12/3 তাই, 16/$\boxed{}$ = 12/3 = 4/1 ভগ্নাংশের সমতুল্যতা থেকে পাচ্ছি, দ্বিতীয় পদ = 4

অন্যভাবে, দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ = প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ দ্বিতীয় পদ $\times$ তৃতীয় পদ = $16 \times 3$ তাই, দ্বিতীয় পদ = $(16 \times 3) / 12 = 4$

দ্বিতীয় পদ = (প্রথম পদ $\times$ চতুর্থ পদ) / তৃতীয় পদ

আমাদের সংখ্যা নিয়ে মজার খেলায় মুসকান একটা মজার জিনিস করল। আমি মাত্র দুটি সংখ্যা দেবো। অন্য সংখ্যা খুঁজে ক্রমিক সমানুপাতি তৈরি করার চেষ্টা করি।

1️⃣7️⃣ তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথম পদ 9, দ্বিতীয় পদ 6 হলে তৃতীয় পদ কী হবে দেখি।

9, 6 ও তৃতীয় পদ ক্রমিক সমানুপাতে আছে ∴ 9 :6 :: 6 : তৃতীয় পদ

প্রান্তীয়পদ দুটির গুণফল = মধ্যপদ দুটির গুণফল ∴ $9 \times$ তৃতীয় পদ = $6 \times 6$ সুতরাং, তৃতীয় পদ = $(6 \times 6) / 9 = 4$

---

সমানুপাত

অধ্যায় : 3

এবার 8, *, 18 ক্রমিক সমানুপাতে আছে।

• (না থাকা সংখ্যা) ধনাত্মক পদটি অর্থাৎ মধ্যপদটি খোঁজার চেষ্টা করি যেহেতু 8, * ও 18 ক্রমিক সমানুপাতে আছে, তাই (মধ্যপদের)$^2$ = $8 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$

∴ মধ্যপদ = $\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3} = 2 \times 2 \times 3 = 12$ ∴ মধ্যপদটি হলো 12 12 কে 8 ও 18-র মধ্যসমানুপাতী বলা হয়।

নিজে করি-3.4

ক্রমিকসমানুপাতী সংখ্যা তিনটি	সমানুপাতে প্রকাশ	ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ	* (সংখ্যা না থাকা) ধনাত্মকপদ
5, 10, *	5 : 10 :: 10 : *	$5/10 = 10/\boxed{}$	$(10 \times 10) / 5 = \boxed{}$
8, *, 4.5	8 : * :: * : 4.5	$8/\boxed{} = \boxed{} / 4.5$	$\sqrt{8 \times 4.5} = \sqrt{36} = \boxed{}$
*, 8, 16	$\boxed{}$ : 8 :: 8 : 16	$\boxed{}/8 = 8/16$	$(8 \times 8) / 16 = \boxed{}$
25, *, 81
2/3, *, 9
2/7, *, 16/21
9, 12, *
1.5, *, 13.5

সমানুপাতে বিভিন্ন রকম সম্পর্ক খুঁজি।

1️⃣8️⃣ 6 কিগ্রা. ডালের দাম 240 টাকা। 30 কিগ্রা. ডাল 1,200 টাকায় পাওয়া যাবে। ডালের পরিমাণ ও দামের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি। ডালের পরিমাণ বাড়লে দামও $\boxed{}$ আবার ডালের পরিমাণ কমলে দামও $\boxed{}$ ডালের পরিমাণের অনুপাত 6 : 30 = 1 : 5 ডালের দামের অনুপাত 240 : 1200 = 1 : 5

ডালের পরিমাণ ও দাম দুটি রাশির একমুখী বৃদ্ধি বা হ্রাসে (অর্থাৎ পরিমাণ বাড়লে দাম বাড়ে বা পরিমাণ কমলে দাম কমে) যে সমানুপাত তৈরি হয়েছে সেটি সরল সমানুপাত। অর্থাৎ ডালের পরিমাণ ও ডালের দাম সরল সমানুপাতে আছে।

---

অধ্যায় : 3

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

1️⃣9️⃣ 15 মিটার ছিট কাপড়ে 5টি ফ্রক তৈরি হলে 2টি ফ্রক তৈরি করতে কত মিটার কাপড় লাগবে হিসাব করি।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো

ফ্রকের সংখ্যা (টি)	কাপড়ের পরিমাণ (মিটার)
5	15
2	*

ফ্রকের সংখ্যা বাড়লে কাপড়ের পরিমাণ $\boxed{}$। আবার ফ্রকের সংখ্যা কমলে কাপড়ের পরিমাণ $\boxed{}$। ফ্রকের সংখ্যার সঙ্গে কাপড়ের পরিমাণ সরল সমানুপাতে আছে। ∴ 5:2:: 15:* সুতরাং, $5 \times$ চতুর্থ পদ = $2 \times 15$ চতুর্থ পদ = $(2 \times 15) / 5 = 6$ ∴ 2টি ফ্রক তৈরি করতে 6 মিটার কাপড় দরকার।

নিজে করি-3.5

1. সুমিত 2টি খাতা 14 টাকায় কিনেছে। 7টি খাতা সে কত টাকায় কিনবে হিসাব করি।

2. একটি জিপগাড়ি 320 কিমি. দূরত্ব যায় 8 ঘণ্টায়। সমবেগে চললে ওই জিপগাড়িটি 120 কিমি. দূরত্ব কত ঘণ্টায় যাবে হিসাব করি।

3. 6 কিগ্রা. স্টেনসেল স্টিল তৈরি করতে 720 গ্রাম ক্রোমিয়াম লাগে। হিসাব করে দেখি 11 কিগ্রা. স্টেনলেস স্টিল তৈরি করতে কত কিগ্রা. ক্রোমিয়াম লাগবে।

4. 10 লিটার শরবতে 3 লিটার সিরাপ আছে। হিসাব করে দেখি এরকম 5 লিটার শরবত তৈরি করতে কত লিটার সিরাপ লাগবে।

5. আমি নিজে একটি সরল সমানুপাতের বাস্তব সমস্যা তৈরি করি ও সমাধান করি।

সমানুপাতে অন্যরকম সম্পর্ক খুঁজি :

আজ আমরা 4 বন্ধু মিলে সারাদিনে আমাদের শ্রেণিকক্ষ রঙিন কাগজ দিয়ে সাজাব। আমাদের এই কাজ শেষ করতে 6 ঘণ্টা সময় লাগবে। আরও 2 জন বন্ধু আমাদের সঙ্গে এই কাজে যোগ দিল। এখন এই কাজ শেষ করতে আমাদের 6 ঘণ্টার $\boxed{}$ (কম/বেশি) সময় লাগবে।

কারণ নির্দিষ্ট কাজ শেষ করতে কাজের লোক বাড়ালে সময় কম লাগে। আবার কাজের লোক কমলে সময় $\boxed{}$ লাগে। এখন ওই কাজ শেষ করতে 4 ঘণ্টা সময় লাগল।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি

লোকসংখ্যা (জন)	সময় (ঘণ্টা)
4	6
4 + 2 = 6	4

তাই দেখছি লোকসংখ্যার অনুপাত 4 : 6 এবং সময়ের অনুপাত 6 : 4। এই দুটি অনুপাত পরস্পর ব্যস্ত অনুপাত। তাই ওই দুটি অনুপাত নিয়ে সমানুপাত তৈরি করতে হলে একটি অনুপাত ও অপরটির ব্যস্ত অনুপাত নিতে হবে।

একরম পরস্পর সম্পর্কযুক্ত দুটি রাশির একটির অনুপাত যদি অপরটির ব্যস্ত অনুপাতের সঙ্গে সমান হয়, তবে তারা ব্যস্ত সমানুপাত গঠন করে। অর্থাৎ লোকসংখ্যা ও সময়ের পরিমাণ ব্যস্ত সমানুপাতে আছে।

---

সমানুপাত

অধ্যায় : 3

2️⃣0️⃣ একটি বাড়ি রং করতে 22 জন শ্রমিকের 10 দিন সময় লাগে। কিন্তু 11 জন শ্রমিক ওই বাড়ি কতদিনে রং করবে হিসাব করি।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি,

শ্রমিকসংখ্যা (জন)	প্রয়োজনীয় সময় (দিন)
22	10
11	?

বাড়িটি রং করতে শ্রমিকের সংখ্যা কম হলে, সময় $\boxed{}$ লাগবে। শ্রমিকের সংখ্যা ও দিনসংখ্যা ব্যস্ত সমানুপাতে আছে। সমানুপাতে, প্রথম সম্পর্কের ব্যস্ত অনুপাত নিয়ে পাই ∴ 11:22 = 10:? প্রান্তীয় পদদ্বয়ের গুণফল = মধ্যপদদ্বয়ের গুণফল তাই, $11 \times$ চতুর্থ পদ = $22 \times 10$ চতুর্থ পদ = $(22 \times 10) / 11 = 20$ ∴ 11 জন শ্রমিকের 20 দিন সময় লাগবে।

কষে দেখি-3

1. ছক পূরণ করি—

চারটি সংখ্যা	সমানুপাতী	সমানুপাতী নয়
8, 10, 16, 20	8, 10, 16, 20
25, 30, 12, 15		25, 30, 12, 15
5, 7, 25, 35
4, 10, 30, 18
5, 10, 16, 20
9, 15, 18, 30

2. 8 জন লোক একটি কাজ 15 দিনে করতে পারে। হিসাব করে দেখি 10 জন লোক ওই কাজটি কত দিনে করতে পারবে।

3. কিছু পরিমাণ খাদ্যে 12 জন লোকের 20 দিন চলে। হিসাব করে লিখি ওই খাদ্যে 40 জন লোকের কতদিন চলবে।

4. অরুণবাবু তাঁর কৃষিজমিতে 16 টি লাঙল দিয়ে 10 দিনে সব জমি চাষ করিয়েছেন। ওই সব জমি 8 দিনে চাষ করতে চাইলে, কতগুলি লাঙল দরকার হিসাব করে লিখি।

---

অধ্যায় : 3

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

5. একটি বন্যাত্রাণ শিবিরে 4,000 জনের 190 দিনের খাবার মজুত আছে। 30 দিন পর 800 জন অন্যত্র চলে গেলেন। যারা রয়ে গেলেন অবশিষ্ট খাদ্যে তাঁদের আর কতদিন চলবে হিসাব করি।

6. 3টি ছাতা বা 1টি চেয়ারের দাম 600 টাকা। 2টি ছাতা ও 2টি চেয়ারের দাম কত হিসাব করে দেখি।

7. আমার শ্রেণিতে আজকে আমাদের উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত নির্ণয় করি। আজ ষষ্ঠ শ্রেণিরও উপস্থিত ও অনুপস্থিতির অনুপাত বের করি। দুটি অনুপাত সমান কিনা দেখি। চারটি সংখ্যা সমানুপাতে আছে কিনা দেখি

8. বিভিন্ন রঙের ঘরের সংখ্যা গুনি ও নীচের প্রশ্নের উত্তর দিই :

(a) লাল ও নীল রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত? (b) বাদামি ও বেগুনি রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত? (c) লাল ও সবুজ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত? (d) বাদামি ও হলুদ রঙের ঘরের সংখ্যার অনুপাত কত? (e) কোন চারটি রঙের ঘরের সংখ্যা সমানুপাতে আছে?

9. দুটি শরবতে সিরাপ ও জলের অনুপাত 2:53 6:10; কোনটি বেশি মিষ্টি দেখি।

10. জল জমে বরফ হলে আয়তন 10% বাড়ে। কিছু পরিমাণ জল ও তা থেকে বরফের আয়তনের অনুপাত কত লিখি।

11. আমার বয়স 12 বছর ও আমার বাবার বয়স 42 বছর। দু'জনের বয়সের অনুপাত কত দেখি।

---

সমানুপাত

অধ্যায় : 3

12. প্রিতমের গল্পের বই ও পড়ার বইয়ের সংখ্যার অনুপাত 2: 5; প্রিতমের গল্পের বই 4টি হলে পড়ার বই কতগুলি আছে হিসাব করি।

13. মালা গাঁথার জন্য জবা ও গাঁদা ফুল মিলিয়ে মোট 105টি ফুল তোলা হয়েছে। জবা ও গাঁদা ফুলের সংখ্যার অনুপাত 3 : 4; কতগুলি জবা ফুল ও কতগুলি গাঁদা ফুল আছে হিসাব করি। আর কতগুলি জবা ফুল দিলে দু-রকম ফুলের সংখ্যার অনুপাতটি সমান হবে দেখি?

14. নীচের ঘরে ইচ্ছামতো পাঁচ ধরনের রং করি। পাঁচ ধরনের রং থেকে দু-ধরনের রঙের ঘর সংখ্যার অনুপাত লিখি। ওই অনুপাতগুলির কোনগুলি গুরু অনুপাত, কোনগুলি লঘু অনুপাত ও কোনগুলি সাম্যানুপাত লিখি। ওই অনুপাত থেকে যদি চার ধরনের রং করা ঘরের সংখ্যা সমানুপাতে থাকে তাহলে তা লিখি।