22. সমীকরণ গঠন ও সমাধান

আজ অনেকগুলি দেশলাই কাঠি নিয়ে আমরা চার বন্ধু মিলে নতুন খেলা খেলব।

জাভেদ আমাকে কিছু সংখ্যক দেশলাই কাঠি দিয়েছিল। আমরা সেগুলি দিয়ে একইরকম কিছু নকশা করার চেষ্টা করব।

তাসমিন ও অমল কয়েকটি নকশা করেছে। কতগুলি নকশা করেছে তা হিসাব করে বলার চেষ্টা করি। জাভেদ আমাকে 20টি দেশলাই কাঠি দিল। আমি করলাম

20টি কাঠি দিয়ে কতগুলি বর্গাকার তৈরি হয়েছে দেখি।

ধরি বর্গাকার ঘরের সংখ্যা $x$ টি। 1টি বর্গাকার ঘরে কাঠির সংখ্যা 4টি। $x$টি বর্গাকার ঘরে মোট কাঠির সংখ্যা $4x$টি। কিন্তু আমার কাছে 20টি কাঠি আছে। সুতরাং, $4x$ ও 20 সমান হবে।

$4x = 20$

$4x = 20$ এইভাবে প্রকাশকে কী বলব? 💡

চল, ধ্রুবক ও সমান চিহ্ন ব্যবহার করে সমস্যাটিকে গণিতের ভাষায় প্রকাশ করলাম। এই প্রক্রিয়াকে বলা হয় সমীকরণ গঠন করা। যেটি পেলাম সেটি হলো সমীকরণ। সমীকরণে ব্যবহৃত চলের মান অজ্ঞাত। তাই তাকে সমীকরণের অজ্ঞাত সংখ্যা বলে। অজ্ঞাত সংখ্যার যে নির্দিষ্ট মানের জন্য সমান চিহ্নের দু-পাশের মান সমান হয় তাকে সমীকরণের বীজ বা সমীকরণের সমাধান বলে। অজ্ঞাত সংখ্যার মান বার করার পদ্ধতিকে সমাধান করা বলে।

সমীকরণ গঠন ও সমাধান

অধ্যায় : 22

1. $4x = 20$ — এই সমীকরণে $x$-এর কোন নির্দিষ্ট মানের জন্য সিদ্ধ (সমান চিহ্নের বামদিক ও ডানদিক সমান) হয় দেখি।

   $4x = 20$ -সমীকরণে $x$-এর বিভিন্ন মান বসিয়ে পাই।

   x-এর মান	সমান চিহ্নের বামদিক	সমান চিহ্নের ডানদিক	সমীকরণকে সিদ্ধ করছে/করছে না
   1	4	20	সিদ্ধ করছে না [:: $4 \ne 20$]
   2	8	20	"
   3			"
   4	16	20	"
   5	20	20	সিদ্ধ করছে
   6	24	20	সিদ্ধ করছে না
   7			"

দেখছি, একমাত্র $x = 5$ হলে $4x = 20$ হয়। অর্থাৎ সমীকরণটি $x = 5$ -এর জন্য সিদ্ধ হয়।

তাসমিন আর একটি নতুন নকশা তৈরি করল। তার আমার থেকে বেশি দেশলাই কাঠি লাগল। তাসমিনের নকশায় কতগুলি কাঠি বেশি লাগল দেখি।

ধরি তাসমিনের নকশায় আমার থেকে $x$টি কাঠি বেশি লাগল। $.\therefore$ তাসমিনের লাগল $(x + 20)$টি দেশলাই কাঠি। কিন্তু গুনে দেখলাম তাসমিনের নকশায় 28টি দেশলাই কাঠি আছে।

তাহলে $x + 20$ ও 28 সমান। বীজগণিতের ভাষায় $x + 20 = 28$

2. $x$-এর কোন মানের জন্য $x + 20 = 28$ হয় দেখি।

   x-এর মান	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   সমান চিহ্নের বামদিক বা (x + 20) -এর মান	21	22	23	24				28
   x-এর মান সমীকরণকে সিদ্ধ করছে (হ্যাঁ)/ করছে না (না)	না	না	না	না				হ্যাঁ

দেখছি $x = \boxed{\text{8}}$ -এর জন্য $x + 20 = 28$ সমীকরণটি সিদ্ধ হচ্ছে।

অধ্যায় : 22

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

3. এবার দেখি $x - 5 = 12$ -এই সমীকরণটি $x$-এর কোন মানে সিদ্ধ হয়।

   x-এর মান	সমান চিহ্নের বামদিক বা (x - 5)-এর মান	x - 5 = 12 সমীকরণ সিদ্ধ হচ্ছে/হচ্ছে না
   5	0	হচ্ছে না
   6	1	হচ্ছে না
   7
   9
   10
   12
   15
   17
   19

$.\therefore$ $x = \boxed{\text{17}}$ -এর জন্য $x - 5 = 12$ সমীকরণটি সিদ্ধ (অর্থাৎ সমতার দুইদিক সমান হয়) হচ্ছে।

$x$-এর যে মান সমীকরণকে সিদ্ধ করে সেই মানকে ওই সমীকরণের কী বলব? 📌

সমীকরণের সমাধান বা বীজ বলা হয়।

$x - 5 = 12$ -এর সমাধান/বীজ $x = 17$

$x + 20 = 28$ -এর সমাধান/বীজ $x = \boxed{\text{8}}$

$4x = 20$ -এর সমাধান/বীজ $x = \boxed{\text{5}}$

দেখছি, উপরের সমীকরণগুলির প্রত্যেকটির অজ্ঞাত সংখ্যা (চল) একটি এবং অজ্ঞাত সংখ্যার ঘাত এক এবং বীজ একটি।

এই ধরনের সমীকরণ কে কি বলব?

এই ধরনের সমীকরণকে বলা হয় একচল বিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ।

নিজে করি- 22.1

1. $x + 4 = 9$
2. $x - 2 = 4$
3. $7x = 42$
4. $\frac{x}{3} = 2$

— এই সমীকরণগুলি $x$-এর কোন মানে সিদ্ধ হয় হিসাব করে লিখি।

সমীকরণ গঠন ও সমাধান

অধ্যায় : 22

কষে দেখি - 22.1

1. নীচের কোনগুলি সমীকরণ লিখি এবং সমীকরণের চলসংখ্যাগুলি লিখি —

   (a) $x + 5 = 13$ (b) $x - 4 = 7$ (c) $3t = 21$ (d) $\frac{t}{3} = 2$ (e) $2x + 1 = 11$ (f) $9 + 4 = 13$ (g) $10 - 3 = 7$ (h) $20 = 4y$ (i) $7 - x = 0$

2. সমীকরণ তৈরি করি —

   (i) $\rightarrow$ 33টি কাঠি দিয়ে $x$টি সজ্জা

   (ii) $\rightarrow$ 65টি কাঠি দিয়ে $y$টি সজ্জা

   (iii) আমার কাছে $x$ টাকা আছে। বাবা আরও 2 টাকা দিলে 18 টাকা হবে।

   (iv) আমার কাছে $x$টি জাম আছে। আমি $\frac{1}{4}$ অংশ জাম নীলাকে দিলাম। নীলা 5 টি জাম পেল।

3. নীচের ছকটি পূরণ করি —

   সমীকরণ	চলের মান	চলের মান সমীকরণকে সিদ্ধ করছে/করছে না
   $x + 5 = 25$	$x = 5$
   $x + 5 = 25$	$x = 8$
   $x + 5 = 25$	$x = 10$
   $x + 5 = 25$	$x = 15$
   $x + 5 = 25$	$x = 20$
   $y - 1 = 11$	$y = 2$
   $y - 1 = 11$	$y = \boxed{\text{12}}$	সিদ্ধ করছে না
   $y - 1 = 11$	$y = \boxed{\text{12}}$	সিদ্ধ করছে
   $4x = 24$	$x = 3$
   $4x = 24$	$x = 4$
   $4x = 24$	$x = \boxed{\text{6}}$	সিদ্ধ করছে

অধ্যায় : 22

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

4. নীচের ছকগুলি পূরণ করি এবং চলসংখ্যার কোন মানের জন্য সমান চিহ্নের দুদিকের মান সমান হচ্ছে সেটিতে (\bigcirc) চিহ্ন দিই।

   (i) $p + 12 = 20$

   p	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   p + 12

   (ii) $6m = 48$

   m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   6m

   (iii) $\frac{t}{5} = 2$

   t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   $\frac{t}{5}$

   (iv) $7 - x = 5$

   x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   7 - x

5. সমীকরণ	বীজে গোল করি
   $2x + 3 = 5$	1, 2, 3, 4
   $y + 9 = 15$	3, 4, 5, 6
   $5x - 1 = 19$	2,4, 6, 8
   $8t = 80$	5,10, 15, 20
   $3m = 15$	4, 5, 6, 7
   $6p = 36$	5, 6, 7, 8

সমীকরণ গঠন ও সমাধান

অধ্যায় : 22

মার্বেল ভাগ করে নিই

আজ আমিনা, বুলু, রোহিত ও তীর্থ মার্বেল নিয়ে এক মজার খেলা শুরু করল। আমিও ওদের মধ্যে যোগ দিলাম। এক বাক্স মার্বেল ওরা চারজন ভাগ করে নিল।

4. আমি হিসাব করে ওদের কার কাছে কতগুলো মার্কেল আছে বলার চেষ্টা করি।

   আমিনার মার্বেলের সংখ্যা বুলুর থেকে 12 টি বেশি। ধরি, বুলুর মার্বেলের সংখ্যা $x$ টি। $.\therefore$ আমিনার মার্বেলের সংখ্যা \boxed{\text{(x + 12)}} টি।

   আমিনার মার্বেলের সংখ্যা কি কি হতে পারে লিখি।

   বুলুর মার্বেলের সংখ্যা x	1	4	6	8	10	12	15	17	18	19	20
   আমিনার মার্বেলের সংখ্যা (x + 12)

   কিন্তু রোহিতের মার্বেলের সংখ্যা বুলুর মার্বেলের সংখ্যার 5 গুণ। যেহেতু বুলুর মার্বেলের সংখ্যা $x$ টি, সুতরাং রোহিতের মার্বেলের সংখ্যা = $\boxed{\text{5x}}$ টি

   রোহিতের মার্বেলের সংখ্যা কি কি হতে পারে লিখি

   বুলুর মার্বেলের সংখ্যা x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   রোহিতের মার্বেলের সংখ্যা 5x

   আবার তীর্থর মার্বেলের সংখ্যা বুলুর মার্বেলের সংখ্যার অর্ধেক । বুলুর মার্বেলের সংখ্যা $x$ টি হলে তীর্থর মার্বেলের সংখ্যা \boxed{\text{\frac{x}{2}}} টি।

   তীর্থর মার্বেলের সংখ্যা কি কি হতে পারে লিখি

   বুলুর মার্বেলের সংখ্যা x	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
   তীর্থর মার্বেলের সংখ্যা $\frac{x}{2}$

অধ্যায় : 22

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

আমি গুনে দেখলাম আমিনার মোট মার্বেলের সংখ্যা 30 টি রোহিতের মোট মার্বেলের সংখ্যা 90 টি তীর্থর মোট মার্বেলের সংখ্যা 9 টি

$x+12=30$	$5x = 90$	$\frac{x}{2} = 9$

5. কিন্তু কীভাবে $x$-এর মান জানব? সমীকরণগুলি নীচের দাড়িপাল্লায় বসাই

   $x + 12 = 30$

   $5x = 90$

   $\frac{x}{2} = 9$

   দাড়িপাল্লার বামদিক ও ডানদিক সমান রেখে সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করি ও কী পাই দেখি

   $x+12=30$ $x + 12+1 > 30$
   $x + 12+1 = 30+1$

   এখান থেকে বুঝতে পারলাম কোনো সমতার উভয় দিকে একইসংখ্যা যোগ করলে সমতা বজায় থাকে।

   $x+12=30$ $x + 12-2 < 30$
   $x + 12-2 = 30-2$

   এখান থেকে বুঝতে পারলাম কোনো সমতার উভয়দিক থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করলে সমতা বজায় থাকে।

সমীকরণ গঠন ও সমাধান

অধ্যায় : 22

$\frac{x}{2} = 9$ $\frac{x}{2} \times 2 > 9$ $\frac{x}{2} \times 2 = 2 \times 9$

এখান থেকে বুঝতে পারলাম কোনো সমতার দুইদিককে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে সমতা বজায় থাকে।

$5x = 90$ $5x < 90$ $\frac{5x}{5} = \frac{90}{5}$

এখান থেকে বুঝতে পারলাম কোনো সমতার উভয়দিককে শূন্য ছাড়া একই সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলেও সমতা বজায় থাকে।

সমতায় চলসংখ্যা থাকলেই আমরা সমীকরণ পাই

{: .float-right-responsive} যেহেতু প্রতিটি সমীকরণের চলসংখ্যা কোনো অজ্ঞাত সংখ্যাকে বোঝায়, তাই সমতার এই 4 টি (সমান চিহ্নের দুদিকে একই সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের) নিয়ম সমীকরণেও প্রযোজ্য।

6. এই নিয়মের সাহায্যে $x+12 = 30$ এই সমীকরণের বামদিকে শুধু চল ($x$) রাখার চেষ্টা করি

   $x+12 = 30$ অথবা, $x+12-12 = 30-12$ [উভয়দিক থেকে 12 বিয়োগ করে পাই] $.\therefore$ $x = 18$

7. এবার $5x = 90$ এই সমীকরণের বামদিকে শুধু চল রাখার চেষ্টা করি।

   $5x = 90$ সমীকরণের বামদিকে শুধুমাত্র $x$ রাখার জন্য উভয়দিকে $\boxed{\text{5}}$ দিয়ে ভাগ করি

   $\frac{5x}{5} = \frac{90}{5}$ $.\therefore$ $x = 18$

অধ্যায় : 22

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

$\frac{x}{2} = 9$ - এই সমীকরণের বামদিকে শুধুমাত্র চল ($x$) রাখার চেষ্টা করি। $\frac{x}{2} = 9$ এই সমীকরণের বামদিকে শুধুমাত্র $x$ রাখার জন্য উভয়দিয়ে $\boxed{\text{2}}$ দিয়ে গুণ করি।

$\frac{x}{2} \times 2 = 9 \times 2$ $.\therefore$ $x = 18$

8. নীচের সমীকরণগুলির সমাধান করি অর্থাৎ সমীকরণের বীজ নির্ণয় করি।

   i) $p + 1 = 2$ ii) $x - 1 = -1$ iii) $7x = 21$ iv) $- 2y = 10$ v) $\frac{x}{3} = -2$ vi) $20x = - 10$ vii) $2x - 3 = 23$ viii) $\frac{x}{5} = \frac{3}{4}$ ix) $\frac{x}{2} = 9$ x) $5x = 0$ xi) $3x + 12 = 24$

   i) $p+1=2$	ii) $x - 1 = -1$
   বা, $p+1-1=2-1$ [উভয়দিক থেকে $\boxed{\text{1}}$ বিয়োগ করে পাই]	বা, $x-1+\boxed{\text{1}} = -1 + \boxed{\text{1}}$ [উভয়দিকে $\boxed{\text{1}}$ যোগ করে পাই]
   $.\therefore$ $p=1$	$.\therefore$ $x=0$
   নির্ণেয় সমাধান $p = 1$	নির্ণেয় সমাধান $x = 0$
   সুতরাং সমীকরণের বীজটি 1.	সুতরাং সমীকরণের বীজটি 0.

   iii) $7x = 21$	iv) $- 2y = 10$
   বা, $\frac{7x}{7} = \frac{21}{7}$ [উভয়দিকে $\boxed{\text{7}}$ দিয়ে $\boxed{\text{ভাগ}}$ করে পাই]	বা, $\frac{-2y}{-2} = \frac{10}{-2}$ [উভয়দিকে - 2 দিয়ে $\boxed{\text{ভাগ}}$ করে পাই]
   $.\therefore$ $x = 3$	$.\therefore$ $y = -5$
   নির্ণেয় সমাধান $x = 3$	নির্ণেয় সমাধান $y = -5$

   v) $\frac{x}{3} = - 2$	vi) $20x = - 10$
   বা, $\frac{x}{3} \times 3 = -2 \times 3$ [উভয়দিকে $\boxed{\text{3}}$ দিয়ে গুণ করে পাই]	বা, $\frac{20x}{20} = \frac{-10}{20}$ [উভয়দিকে $\boxed{\text{20}}$ দিয়ে $\boxed{\text{ভাগ}}$ করে পাই]
   $.\therefore$ $x = -6$	$.\therefore$ x = \boxed{\text{-\frac{1}{2}}}
   নির্ণেয় সমাধান $x = - 6$	নির্ণেয় সমাধান x = \boxed{\text{-\frac{1}{2}}}

নিজে করি - 22.2

1. $x + 3 = 15$
2. $y - 3 = 10$
3. $5x = 25$
4. $\frac{y}{3} = \frac{2}{9}$
5. $5x + 7 = 17$

সমীকরণ গঠন ও সমাধান

অধ্যায় : 22

কষে দেখি- 22.2

1. নীচের গল্প পড়ি ও সমীকরণ গঠন করি-

   (a) আমার মার্বেলের 7 গুণ মার্বেল প্রতিমার কাছে আছে। প্রতিমার কাছে 42 টি মার্বেল আছে।

   (b) মিলনবাবুর বয়স তার ছেলের বয়সের 4 গুণ। 5 বছর পরে মিলনবাবুর বয়স তার ছেলের বয়সের 3 গুণ হবে।

   (c) 187 টাকা আমি, দুলাল ও জাহির এমন করে ভাগ করে নিলাম যে দুলাল আমার চেয়ে 5 টাকা কম পেল, কিন্তু জাকির আমার দ্বিগুণ টাকা পেল।

   (d) আমাদের গ্রামের 3895 জনের মধ্যে যতজন সাক্ষর তার চেয়ে অক্ষরহীনের সংখ্যা 1871 জন কম।

   (e) কোন সংখ্যাকে 12 দিয়ে গুণ করে তা থেকে 48 বিয়োগ করলে বিয়োগফল মূল সংখ্যাটির $\frac{2}{3}$ অংশ হবে।

   (f) সীতারা বেগমের ফলের দোকানের মোট ফলের $\frac{1}{2}$ অংশ আপেল, $\frac{2}{5}$ অংশ কমলালেবু ও অবশিষ্ট 160 টি নাসপাতি আছে।

   (g) আমি একটি দুই অঙ্কের সংখ্যা লিখেছি যার একক স্থানীয় অঙ্ক $x$, কিন্তু দশক স্থানীয় অঙ্ক 5; সংখ্যাটি একক স্থানীয় অঙ্কের 11 গুণ।

   (h) দীপ্তার্ক একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা লিখেছে যার শতক স্থানীয় অঙ্ক $y$, দশক স্থানীয় অঙ্ক 7 ও একক স্থানীয় অঙ্ক 0; সংখ্যাটি শতক স্থানীয় অঙ্কের 114 গুণ।

2. সমীকরণ দেখি ও গল্প তৈরির চেষ্টা করি—

   a) $2x = 50$ $\rightarrow$ $\boxed{\phantom{\text{Write story/equation here}}}$

   b) $3y + 10 = 160$ $\rightarrow$ $\boxed{\phantom{\text{Write story/equation here}}}$

   c) $\frac{x}{2} - \frac{5}{6} = 1 - \frac{2}{3}$ $\rightarrow$ $\boxed{\phantom{\text{Write story/equation here}}}$

   d) $\frac{3}{20}x + 2 = x$ $\rightarrow$ $\boxed{\phantom{\text{Write story/equation here}}}$

অধ্যায় : 22

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

9. আজ আমরা পাঁচ বন্ধুরা নিজেদের বয়স লিখব ও কে কত বড় হিসাব করব।

   বুলু, তীর্থর থেকে 7 বছরের বড়ো। কিন্তু আমিনার বয়স তীর্থর বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম। আবার রহিতের বয়স তীর্থর বয়সের $\frac{1}{2}$ গুণ।

   আমি ওদের প্রত্যেকের বয়স হিসাব করে বলার চেষ্টা করি ধরি, তীর্থর বয়স $x$ বছর। তাহলে বুলুর বয়স $(x +7)$ বছর আমিনা তীর্থর বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম। $.\therefore$ আমিনার বয়স $(2x - 3)$ বছর।

   {: .float-right-responsive} কিন্তু রহিতের বয়স তীর্থর বয়সের $\frac{1}{2}$ গুণ = $\frac{3}{2}$ গুণ $.\therefore$ রহিতের বয়স $\frac{3x}{2}$ বছর।

   জানতে পারলাম আমিনার বয়স 13 বছর। $.\therefore$ $2x - 3 = 13$ উভয়দিকে 3 যোগ করে পাই, $2x - 3 + 3 = 13 + 3$ বা, $2x = 16$ উভয়দিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই $x=8$

   অন্যভাবে করে কী পাই দেখি

   $2x - 3 = 13$

   সমীকরণে = চিহ্নের একপাশ থেকে অপর পাশে সংখ্যাকে নিয়ে যাওয়াকে পক্ষান্তর বলে। এই পক্ষান্তরের সময়ে চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ (+) চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে (-) চিহ্ন হয় আবার (-) চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে (+) চিহ্ন হয়। একইভাবে ভাগ থাকলে গুণ হয় এবং গুণ থাকলে ভাগ হয়।

   সুতরাং $2x - 3 = 13$

   বা, $2x = 13 + 3$ [পক্ষান্তর করে পাই] বা, $2x = 16$ বা, $x = \frac{16}{2}$ [উভয়দিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই] $.\therefore$ $x = 8$

   অর্থাৎ তীর্থর বয়স 8 বছর।

সমীকরণ গঠন ও সমাধান

অধ্যায় : 22

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

যেহেতু তীর্থর বয়স 8 বছর তাই রহিতের বয়স $\frac{3x}{2}$ বছর = $\frac{3 \times 8}{2}$ বছর = 12 বছর। আবার বুলুর বয়স $(x+7)$ বছর অর্থাৎ বুলুর বয়স $(8+7)$ বছর = 15 বছর।

তীর্থের বয়স 8 বছর। তীর্থ, বুলু, আমিনা ও রহিতের মধ্যে বয়সে সবচেয়ে ছোটো $\boxed{\text{তীর্থ}}$ এবং সবচেয়ে বড়ো $\boxed{\text{বুলু}}$।

10. নীচের সমীকরণ দুটি সমাধানের চেষ্টা করি

    i) $5x +2 =22$	(ii) $13y-5 = 47$
    বা, $5x = 22-2$ [পক্ষান্তর করে পাই]	বা, $13y = 47 +5$ [পক্ষান্তর করে পাই]
    বা, $5x = 20$	বা, $13y = 52$
    বা, $\frac{5x}{5} = \frac{20}{5}$ [ উভয়দিকে 5 দিয়ে ভাগ করে পাই]	বা, $y = \frac{52}{13}$ [উভয়দিকে 13 দিয়ে ভাগ করে পাই]
    $.\therefore$ $x = 4$	$.\therefore$ $y = 4$
    নির্ণেয় সমাধান $x =4$	নির্ণেয় সমাধান $y = 4$

11. $3 (x+9)=81$ সমীকরণটি সমাধান করি

    $3 ( x +9)=81$ বা, $x +9 = \frac{81}{3}$ [পক্ষান্তর করে পাই] বা, $x+ 9 = 27$ বা, $x= 27-9$ [পক্ষান্তর করে পাই] $.\therefore$ $x=18$

    নির্ণেয় সমাধান $x=18$

অধ্যায় : 22

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

12. নীচের সমীকরণগুলি সমাধান করার চেষ্টা করি-

    (i) $3(6 - 2x) + 20x = 0$ বা, $18 - 6x + 20x = 0$ বা, $- 6x + 20x = -18$ [পক্ষান্তর করে পাই] বা, $14x = -18$ বা, $x = -\frac{18}{14}$ বা, $x = -\frac{9}{7}$ $.\therefore$ $x = -\frac{9}{7}$ নির্ণেয় সমাধান $x = -\frac{9}{7}$

    (ii) $\frac{1}{2}(x+1) + \frac{1}{3}(x+2) + \frac{1}{4}(x+3) = 16$ বা, $\frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{x}{3} + \frac{2}{3} + \frac{x}{4} + \frac{3}{4} = 16$ বা, $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 16 - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} - \frac{3}{4}$ [পক্ষান্তর করে পাই] বা, $\frac{6x + 4x + 3x}{12} = \frac{192 - 6 - 8 - 9}{12}$ বা, $13x = 192 - 23$ বা, $13x = 169$ [পক্ষান্তর করে পাই] বা, $x = \frac{169}{13}$ $.\therefore$ $x = 13$ নির্ণেয় সমাধান $x = 13$

    {: .float-right-responsive}

    (iii) $\frac{x}{a} + b = \frac{x}{b} + a$ বা, $\frac{x}{a} - \frac{x}{b} = a - b$ [ পক্ষান্তর করে পাই] বা, $\frac{bx - ax}{ab} = a - b$ [ সরল করে পাই ] বা, $\frac{x(b-a)}{ab} = a - b$ বা, $\frac{x(b-a)}{ab} = -(b-a)$ বা, $x(b-a) = -ab (b-a)$ [ পক্ষান্তর করে পাই ] বা, $x = \frac{-ab (b-a)}{(b-a)}$ [উভয়দিকে $(b-a)$ দিয়ে ভাগ করে পাই, $b-a \ne 0$] $.\therefore$ $x=-ab$ নির্ণেয় সমাধান $x = -ab$

সমীকরণ গঠন ও সমাধান

অধ্যায় : 22

কষে দেখি – 22.3

1. নীচের সমীকরণগুলি সমাধান করি-

   i) $6x =7$ ii) $\frac{x}{3} =0$ iii) $3x = 9$ iv) $\frac{x}{4} =2$ v) $5x - 2 = 8$ vi) $7y + 5 = 40$ vii) $12x + 8 = 7x + 28$ viii) $6(7 - 3x) + 12x = 0$ ix) $5(x + 3) + 4 (2x + 6) = 0$ x) $3(6 - 2x) = 4 (1 - 5x)$ xi) $\frac{x}{2} - \frac{x}{5} = \frac{x}{3} + \frac{1}{4}$ xii) $3 + 2x = 1 - x$ xiii) $5(2x - 3) - 3(3x - 7) = 5$ xiv) $\frac{2x}{3} = \frac{3x}{8} + \frac{7}{12}$ xv) $\frac{3x+1}{16} + \frac{2x - 3}{7} = \frac{x+3}{8} - \frac{1 - 3x}{10}$ xvi) $2t - 3 = \frac{3}{10} (5t-2)$ xvii) $\frac{ax+b}{3} = \frac{cx+d}{2}$ xviii) $2x+0.6x-6.6 = 0.4x$ xix) $0.5x+\frac{x}{3} = 0.25+7$ xx) $0.18(5x-4) = 0.5x+0.8$

2. সমাধান দেখে সমীকরণ তৈরি করি ও গল্প লিখি—

   (i) $x=6$ $\rightarrow$ $\boxed{\phantom{\text{Equation and Story}}}$

   (ii) $t = 7$ $\rightarrow$ $\boxed{\phantom{\text{Equation and Story}}}$

   (iii) $m=\frac{5}{6}$ $\rightarrow$ $\boxed{\phantom{\text{Equation and Story}}}$

   (iv) $y = 12$ $\rightarrow$ $\boxed{\phantom{\text{Equation and Story}}}$

অধ্যায় : 22

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

13. শিবনাথ ও সোমনাথের বয়সের অনুপাত $3: 4$; যদি দুজনের মোট বয়স 21 বছর হয় তবে সমীকরণ গঠন করে শিবনাথ ও সোমনাথের প্রত্যেকের বয়স কত দেখি।

    ধরি, অনুপাতের উভয়পদের সাধারণ গুণিতক $x$, যেখানে $x \ne 0$ সুতরাং, শিবনাথের বয়স $3x$ বছর এবং সোমনাথের বয়স $4x$ বছর। $.\therefore$ দুজনের মোট বয়স $(3x + 4x)$ বছর। শর্তানুসারে, $3x + 4x = 21$ বা $7x = \boxed{\text{21}}$ $x = \boxed{\text{3}}$

    {: .float-right-responsive}

    সুতরাং, শিবনাথের বয়স = $3x$ বছর = $3 \times 3$ বছর = 9 বছর এবং সোমনাথের বয়স = $4x$ বছর = $4 \times \boxed{\text{3}}$ বছর = 12 বছর

14. নীচের সমস্যাগুলির সমীকরণ তৈরি করে সমাধানের চেষ্টা করি

    i) কোন সংখ্যার 6 গুণের সাথে 6 যোগ করলে সেই সংখ্যার ৪ গুণ হবে হিসাব করে লিখি ।

    ii) কোন সংখ্যার $\frac{1}{4}$ অংশ থেকে $\frac{1}{5}$ অংশ বিয়োগ করলে 2 পাব হিসাব করে লিখি।

    iii) দুটি সংখ্যার একটি অপরটির তিনগুণ। ছোটোটির সঙ্গে 10 যোগ করলে যোগফল দ্বিতীয়টির $\frac{3}{2}$ গুণ হয়। হিসাব করে সংখ্যাটি লিখি। $\boxed{\text{নিজে করি}}$

    সমাধান i) ধরি, সংখ্যাটি $x$ $.\therefore$ $x$ - এর 6 গুণের সাথে 6 যোগ করে পাই $(6x + 6)$ $x$ এর ৪ গুণ = $\boxed{\text{8x}}$ শর্তানুসারে, $6x + 6 = 8x$ বা, $8x = 6x + 6$ বা, $8x - 6x = 6$ [ পক্ষান্তর করে পাই] বা, $2x = 6$ বা, $x = \frac{6}{2}$ [উভয়দিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই] $.\therefore$ $x = 3$ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 3

সমীকরণ গঠন ও সমাধান

অধ্যায় : 22

ii) ধরি, সংখ্যাটি $y$ $.\therefore$ $y$ এর $\frac{1}{4}$ অংশ = $\boxed{\frac{y}{4}}$ এবং $y$ এর $\frac{1}{5}$ অংশ = $\boxed{\frac{y}{5}}$ শর্তানুসারে, $\frac{y}{4} - \frac{y}{5} = 2$ বা, $\frac{5y-4y}{20} = 2$ বা, $\frac{y}{20} = 2$ $.\therefore$ $y = 40$ [ উভয়দিকে 20 দিয়ে গুণ করে পেলাম ] নির্ণেয় সংখ্যাটি 40

কষে দেখি- 22.4

গল্প পড়ে সমীকরণ তৈরি করি ও সমাধান করি :

1. বারুইপাড়ার শাকিল তার জমিকে সমান দু-ভাগ করে কলা ও পান চাষ করে মোট 2830 টাকা আয় করেন। পান চাষ করে তিনি কলার চেয়ে 630 টাকা বেশি আয় করেন। কলা চাষ করে তিনি কত টাকা পেয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।

2. কুমারদের আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের $1 \frac{1}{2}$ গুণ; জমিটির পরিসীমা 400 মিটার। কুমারদের জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

3. মঞ্জু, কণা ও অমলের মধ্যে 170 টাকা এমন করে ভাগ করে দিই যাতে মঞ্জু যত টাকা পাবে, কণা তার দ্বিগুণ অপেক্ষা 30 টাকা কম পাবে। অমল কণার অর্ধেক অপেক্ষা 15 টাকা বেশি পাবে। হিসাব করে দেখি কাকে কত টাকা দিলাম।

4. আমার কাছে কিছু আপেল আছে। আমি আমার আপেলের $\frac{2}{3}$ অংশ ভাইকে দেব এবং ভাইকে দেওয়ার পরেও আমার কাছে 6 টি আপেল পড়ে থাকবে। হিসাব করে দেখি ভাইকে কতগুলি আপেল দেব।

5. কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত $3:2$ এবং পরিসীমা 160 মিটার। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

6. আমার ব্যাগে 5 টাকার ও 10 টাকার মোট মুদ্রার সংখ্যা 20 টি। ব্যাগে মোট 145 টাকা থাকলে কোন মুদ্রা কতগুলি আছে হিসাব করে লিখি।

7. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান যথাক্রমে $x^\circ$, $2x^\circ$ ও $3x^\circ$। বৃহত্তম কোণের মান হিসাব করে লিখি।

8. চঞ্চলবাবু তার বাড়ি তৈরির সময়ে কিছু টাকা ধার করেন। তিনি তার ধারের $\frac{1}{3}$ অংশ অপেক্ষা 2000 টাকা বেশি পরিশোধ করলেন। কিন্তু এখনও তিনি যা শোধ করেছেন তা অপেক্ষা 21000 টাকা বেশি ধার থাকল। প্রথমে তিনি কত টাকা ধার করেছিলেন হিসাব করে লিখি।

9. একটি সাইকেল রিকশা থেকে একটি অটো রিকশার গতিবেগ ঘন্টায় ৪ কিমি. বেশি। রীতা তার বাড়ি থেকে 2 ঘণ্টা সাইকেল রিকশায় এবং 30 মিনিট আটো রিকশায় করে 19 কিমি. দূরের স্টেশনে গেল। অটো রিকশার গতিবেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি।

10. মারিয়ার বর্তমান বয়স তার ছোট ভাইয়ের বয়সের চেয়ে ৪ বছর বেশি। 4 বছর পর মারিয়ার বয়স তার ভাইয়ের বয়সের দ্বিগুণ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত হবে হিসাব করে লিখি।