12. বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

নানান রঙের আয়তাকার ও বর্গাকার কার্ড তৈরি করি ও সাজাই।

আজ আমি রুমা, বুলু, তিমির ও তমাল সবাই মিলে নানান রঙের নানান মাপের বর্গাকার ও আয়তাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করব এবং তারপরে নানাভাবে সাজিয়ে কি পাই দেখি।

আমি একটি লাল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করলাম যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি.।

রুমা আর একটি নীল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করল যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও সেমি.।

তিমির একটি সবুজ রঙের আয়তাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করল যার দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ ও সেমি.।

বুলুও তিমিরের মতো হলুদ রঙের আয়তাকার পিচবোর্ডের কার্ড তৈরি করল যার দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ ও সেমি.।

এবার এই লাল, নীল, সবুজ ও হলুদ রঙের চার রকমের কার্ড আমরা নানানভাবে সাজানোর চেষ্টা করে পাশের ছবির মতো সাজিয়ে একটি বড়ো বর্গক্ষেত্র পেলাম।

146

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায়: 12

দেখছি, এই বড়ো পিচবোর্ডে যে বর্গক্ষেত্র তৈরি হলো তার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $(5 + 3)$ সেমি.। তাই বড় বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল $= (5+3)^2$ বর্গসেমি.।

কিন্তু, এই বড়ো বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল = লাল রঙের বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল + হলুদ রঙের আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল + সবুজ রঙের আয়তক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল + নীল রঙের বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের ক্ষেত্রফল।

অর্থাৎ, $(5+3)^2$ বর্গসেমি. $= 5^2$ বর্গসেমি. $+ 3$ সেমি. $\times 5$ সেমি. $+ 5$ সেমি. $\times 3$ সেমি. $+ 3^2$ বর্গসেমি. $= 5^2$ বর্গসেমি. $+ 2(5 \text{সেমি.} \times 3 \text{ সেমি.}) + 3^2$ বর্গসেমি. $[\because 3 \times 5 = 5 \times 3]$

$$(5+3)^2 = 5^2 + 2 \times 5 \times 3 + 3^2$$

(1) 7 সেমি. ও 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট দুটি বর্গক্ষেত্রাকার কার্ডবোর্ড ও 7 সেমি. দৈর্ঘ্য ও 3 সেমি. প্রস্থ বিশিষ্ট দুটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্ডবোর্ড নিয়ে এভাবে তৈরি করেও দেখছি,

$(7 + 3)^2 = 7^2 + 2\times7\times3+3^2$ [কাগজ কেটে নিজে করি।]

(2) অন্য যেকোনো দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্র তৈরি করে কি পাই দেখি। [নিজে করি]

হাতেকলমে

এবার ধরি $\mathbf{a}$ একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি লাল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ড, এবং $\mathbf{b}$ একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি নীল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ড এবং $\mathbf{a}$ একক দৈর্ঘ্য ও $\mathbf{b}$ একক প্রস্থবিশিষ্ট সবুজ ও হলুদ রঙের দুটি আয়তাকার পিচবোর্ড তৈরি করে একইভাবে সাজিয়ে পেলাম—

এই $(a + b)$ একক দৈর্ঘ্যের বাহু বিশিষ্ট পিচবোর্ডের বর্গক্ষেত্র থেকে পেলাম—

$(a+b)^2 = a^2+ab+ba+b^2$

$= a^2+ ab + ab + b^2 [\because ab=ba]$

$= a^2 + 2ab + b^2$

147

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

$\_a$ ও $\_b$ যেকোনো সংখ্যা হলে $(a + b)^2 = (a + b) \times (a + b)$ অর্থাৎ $(a + b)$ -এর সাথে $(a + b)$ গুণ করে কি পাই দেখি।

$(a + b) \times (a + b) = (a + b)a + (a + b)b$ [বিচ্ছেদ নিয়মে পাই] $= a \times a + b \times a + a \times b + b \times b$ $= a^2 + ab + ab + b^2$ $[ \because ba = ab ]$ $= a^2 + 2ab + b^2$

$\therefore (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

হাতেকলমে ও বীজগাণিতিক সংখ্যামালা গুণ করে পেলাম $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

কিন্তু $(a-b) \times (a-b)$ – এই বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দুটি গুণ করি ও কি পাই দেখি-

$(a-b) \times (a-b) = (a-b)\times a - (a-b) \times b$ [বিচ্ছেদ নিয়মে পাই] $= a \times a - b \times a -(a \times b- b \times b)$ $= a^2 - b \times a - a \times b + b^2$ $= a^2 - ab - ab + b^2$ $[ \because ba = ab ]$ $= a^2 - 2ab+b^2$

হাতেকলমে

$\therefore (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ আমরা আগের মতো বর্গাকার ও আয়তাকার রঙিন পিচবোর্ড কেটে এবং সাজিয়ে হাতেকলমে $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ যাচাই করার চেষ্টা করি।

আমি $\mathbf{a}$ একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট লাল রঙ করা পিচবোর্ডের একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করলাম।

এবার সুনীতি $\mathbf{b}$ একক দৈর্ঘ্যের $(b < a)$ বাহুবিশিষ্ট নীল রং করা পিচবোর্ডের একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করল।

মুসকান সবুজ ও হলুদ রং করা পিচবোর্ডের দুটি আয়তাকারক্ষেত্র তৈরি করল যার দৈর্ঘ্য $\mathbf{a}$ একক ও প্রস্থ $\mathbf{b}$ একক।

148

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

আমি প্রথমে লাল রঙের পিচবোর্ডের উপর সবুজ ও হলুদ রঙের পিচবোর্ডগুলি পাশের ছবির মতো রাখলাম। এবার নীল রঙের পিচবোর্ডটি পাশের ছবির মতো রাখলাম। এবার কী পেলাম দেখি।

AIPM বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $(a-b)$ একক।

$\therefore$ AIPM বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $(a-b)^2$ বর্গএকক।

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= a^2$ বর্গএকক। EMDF বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= b^2$ বর্গএকক। IBCJ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল$= a \times b$ বর্গএকক। EPJF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= b \times a$ বর্গএকক।

$\therefore$ AIPM বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + EMDF বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল - IBCJ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল - EPJF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

$\therefore (a-b)^2$ বর্গএকক $= (a^2+b^2-ab-ba)$ বর্গএকক

$= (a^2 + b^2 - 2ab)$ বর্গএকক $[\because ab = ba]$

$= (a^2 - 2ab + b^2)$ বর্গএকক

$\therefore$ হাতেকলমে ও বীজগাণিতিক সংখ্যামালা গুণ করে পেলাম $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$a = 7$ সেমি. ও $b = 4$ সেমি. দৈর্ঘ্যের বর্গাকার ও আয়তাকার পিচবোর্ডগুলি তৈরি করে সাজিয়ে পাব-

$(7 + 4)^2 = 7^2 + 2\times7\times4 + 4^2$

দেখছি, $(7+4)^2=11^2= 121$ এবং $7^2 + 2\times7\times4 + 4^2$

$= 49 +56 +16$ $= 105+16= 121$

$\therefore (7 +4)^2 = 7^2 + 2\times7\times4 + 4^2$

149

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

$a = 5$ সেমি. ও $b = 3$ সেমি. দৈর্ঘ্য নিয়ে বর্গাকার ও আয়তাকার পিচবোর্ডগুলি তৈরি করে সাজিয়ে পাব-

$(5-3)^2 = 5^2 - 2\times5\times3 + 3^2$

দেখছি, $(5-3)^2 =2^2 = 4$ এবং $5^2 - 2\times5\times3 + 3^2$

$= 25 - 30 +9$ $= 34-30 = 4$

$\therefore (5-3)^2 = 5^2 - 2\times5\times3 + 3^2$

a ও b যে কোন সংখ্যা নিয়ে যাচাই করি। $(a+b)^2= a^2 + 2ab + b^2$ (I) $(a - b)^2 = a^2-2ab + b^2$ (II) (নিজে করি)

তাই (I) ও (II) দুটি অভেদ। যে কোনো দুটি সংখ্যামালা যদি `=' চিহ্নের দুই পাশে থাকে ও দুপাশের মান চলের যেকোনো মানের জন্য সমান হয় তখন সেটিকে অভেদ বলা হয়।

I নং সূত্রে $\mathbf{b}$ এর জায়গায় $(-\mathbf{b})$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$\therefore \{a+ (-b)\}^2 = a^2 + 2 \times a \times (-b) + (-b)^2$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ অর্থাৎ (II) নং সূত্র পেলাম।

1 এবার $(a + b)^2$ ও $(a - b)^2$ যোগ করে কি পাই দেখি।

$(a+b)^2 + (a-b)^2$

$= a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2$

$= a^2 + a^2 + b^2 +b^2 +2ab -2ab$

$= 2a^2 +2b^2$

$= 2 (a^2+b^2)$

$\therefore (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$

$a = -2, b=7$ নিয়ে, $(a+b)^2 + (a - b)^2 = 2 (a^2 + b^2)$ যাচাই করি।

$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (-2+7)^2 + (-2 -7)^2$

$= (5)^2 + (-9)^2 = 25 +81 =106$

আবার $2(a^2 + b^2) = 2\{(-2)^2 + (7)^2\}$

$= 2\{4+49\} = 2 \times 53 =106$

$\therefore (a+b)^2 + (a - b)^2 = 2 (a^2 + b^2)$

a ও b এর অন্য মান নিয়ে যাচাই করি, $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2 (a^2 + b^2)$ (নিজে করি)

150

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

2 $(a+b)^2 - (a - b)^2$ কি পাই দেখি।

$(a+b)^2 - (a - b)^2= (a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab + b^2)$ $= \cancel{a^2}+2ab+\cancel{b^2}-\cancel{a^2}+2ab-\cancel{b^2}$ $= 4ab.

$\therefore (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

$a = -6$ ও $b=3$ নিয়ে দেখি $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ পাই কিনা।

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (-6 +3)^2 - (-6-3)^2$

$= (-3)^2 - (-9)^2$ $= 9 - 81 = -72$

$4\times a \times b = 4 \times (-6) \times 3 = -72$

$\therefore (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ পেলাম।

a ও b -এর অন্য যেকোনো মান নিয়ে যাচাই করি $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ (নিজে করি)

$4ab = (a+b)^2 - (a - b)^2$

$$\frac{4ab}{4} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$$

[উভয়পক্ষকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই]

$$ab = \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4}$$ $$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$

$\therefore ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ (I)

$(a+b)^2= (a^2+2ab + b^2)$

3 (I) নং-এ $a = x$ ও $b= y$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

4 আবার (I)নং - এ যদি, $a=x$ ও $b=-y$ বসাই কি পাই দেখি।

$(x - y)^2 = x^2 + 2x \times (-y) + (-y)^2$

$= x^2 - 2xy + y^2$

5 আবার (I) নং এ যদি, $a=3x$ ও $b= 5y$ বসাই তাহলে কি পাই দেখি।

$(3x + 5y)^2= (3x)^2 + 2\times(3x)\times(5y) + (5y)^2$

$= 9x^2+ 30xy +25y^2$

151

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

6 (I) নং -এর সাহায্যে সহজে $(101)^2$ -এর মান খুঁজি।

$(101)^2 = (100 + 1)^2$

$= (100)^2 + 2\times100\times1+(1)^2$

= $\Box$ নিজে করি।

7 যদি (I) নং -এ, $a = x$ ও $b=y+z$ বসাই তাহলে কি পাই দেখি।

$\therefore \{x + (y+z)\}^2 = x^2 + 2x\times (y+z) + (y+z)^2$

$= x^2+2xy +2xz + (y+z)^2$

$= x^2+2xy +2xz +y^2 +2yz + z^2$

$= x^2 +y^2 +z^2 + 2xy +2yz + 2zx$

$$(x+y+z)^2 = x^2 +y^2 +z^2 + 2xy +2yz + 2zx$$

তাই $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2ab +2bc + 2ca$ (III)

8 (I) নং -এ $a = \frac{x}{2}, b=\frac{z}{2}$ বসিয়ে পাই-

$\left(\frac{x}{2} + \frac{z}{2}\right)^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2+2 \times \left(\frac{x}{2}\right)\times\left(\frac{z}{2}\right)+\left(\frac{z}{2}\right)^2$

$= \frac{x^2}{4}+\frac{xz}{2}+\frac{z^2}{4}$

9 (III) নং -এ $a = 2, b = 3$ এবং $c = 4$ বসিয়ে যাচাই করি।

$(a+b+c)^2= (2+3+4)^2 = 9^2 = 81$

আবার, $a^2+b^2+c^2 + 2ab +2bc + 2ca = 2^2 +3^2 +4^2+2\times2\times3+2\times3\times4+2\times4\times2$

$= 4+9+16+12+24+16 = 81$

$\therefore (a+b+c)^2= a^2+b^2 +c^2 + 2ab +2bc + 2ca

নিজে করি-12.1

$(a + b)^2= (a^2+2ab + b^2)$ -এর সাহায্যে নীচের সংখ্যামালাগুলির বর্গ নির্ণয় করতে হলে $\mathbf{a}$ ও $\mathbf{b}$ -এর জায়গায় কী কী নিলাম লিখি এবং বর্গ নির্ণয় করি।

(i) $x+3$ (ii) $p+9$ (iii) $6-x$ (iv) $y-2$ (v) $mn +1^2$ (vi) $6x +3$ (vii) $4x + 5y$ (viii) $pqc +2$ (ix) $\frac{x}{5}+3$ (x) $\frac{r}{p}+\frac{p}{q}$ (xi) $\frac{p}{m}+\frac{n}{m}$ (xii) $m^2 + n^2$ (xiii) $3xy +4z$ (xiv) $2x+ 3y +z$ (xv) $102$ (xvi) $p+q+r+s$

152

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

$(a-b)^2= a^2-2ab+b^2$ (II)

10 (II) নং -এ $a = x$ ও $b= y$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$(x - y)^2= x^2-2xy + y^2$

11 এবার (II) নং -এ $a = x$ ও $b= -y$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$\{x-(-y)\}^2 = x^2 - 2x \times (-y) + (-y)^2$

$\therefore (x+y)^2= x^2+2xy +y^2$

12 যদি (II)নং-এ $a = \frac{m}{2}$ ও $b=\frac{n}{5}$ বসাই তাহলে কি পাই দেখি।

$\left(\frac{m}{2} - \frac{n}{5}\right)^2=\left(\frac{m}{2}\right)^2-2\times\frac{m}{2}\times\frac{n}{5}+\left(\frac{n}{5}\right)^2$

$= \frac{m^2}{4}-\frac{mn}{5}+\frac{n^2}{25}$

13 যদি (II) নং -এ $a = 6x$, এবং $b= -7y$ বসাই তাহলে কি পাই দেখি।

$\{6x - (-7y)\}^2 = (6x)^2 - 2 \times 6x (-7y) + (-7y)^2$

$\therefore (6x+7y)^2 = 36x^2 + 84 xy +49y^2$

14 এবার (II) নং-এ $a = x+y$ এবং $b= z$ বসিয়ে কি পাই দেখি।

$\{(x+y) - z\}^2 = (x+y)^2-2x (x+y) z+z^2$

$= \Box$ নিজে করি

15 (II) নং -এর সাহায্যে সহজে $(99)^2$ -এর মান খুঁজি।

$(99)^2 = (100-1)^2$

$= (100)^2 - 2\times100 \times 1 + (1)^2$

$= \Box$ নিজে করি

নিজে করি -12.2

$(a - b)^2 = a^2-2ab+b^2$ -এর সাহায্যে নীচের সংখ্যামালাগুলির বর্গ নির্ণয় করতে হলে $\mathbf{a}$ ও $\mathbf{b}$ -এর জায়গায় কী কী নিলাম লিখি এবং বর্গ নির্ণয় করি।

(i) $x - 5$ (ii) $m-n$, (iii) $10-x$, (iv) $x+y$, (v) $3x-y$, (vi) $4m+2$, (vii) $5y +x$, (viii) $ce-fg$, (ix) $px - \frac{1}{2}$ (x) $p+q-r$, (xi) $p-q+r$, (xii) $\frac{2x}{3} - \frac{3y}{4}$, (xiii) $3m^3 - 4n^3$, (xiv) $2x+y-z$, (xv) $999$, (xvi) $p+q -r-s$.

153

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

$(a+b)^2= \mathbf{a^2} + 2ab + \mathbf{b^2}$ (I) এবং $(a-b)^2 = \mathbf{a^2} - 2ab + \mathbf{b^2}$ (II)

(I) নং এবং (II) নং -এর সাহায্যে বীজগাণিতিক সংখ্যামালা পূর্ণবর্গাকারে লেখার চেষ্টা করি

16 $4x^2 +12xy+9y^2$ কে পূর্ণবর্গাকারে লিখি এবং $a$ ও $b$ -এর মান কি পেলাম লিখি।

$4x^2+12xy+9y^2$

$= (2x)^2 + 2\times2x\times3y + (3y)^2$ [এখানে $a= 2x, b = 3y$]

$= (2x + 3y)^2$ [(I)নং থেকে পেলাম]

17 $4a^2 +4+\frac{1}{a^2}$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে পূর্ণবর্গাকারে লিখি ও মান বের করি যখন $a = - \frac{1}{2}$

$4a^2+4+\frac{1}{a^2}$

$= \Box^2+2\times2a\times\frac{1}{a}+(\Box)^2$

$= (2a + \frac{1}{a})^2$ [ (I) নং সূত্র থেকে পেলাম]

$= \left\{2\times\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{(-1/2)}\right\}^2$ [$a=-\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই]

$= (-1 -2)^2 = (-3)^2 = 9$

18 উপরের (II) নং -এর সাহায্যে

$(3a + 2b)^2 - 2(3a+2b) (a+2b) + (a+2b)^2$ - এর সরল করি।

$(3a +2b)^2 - 2(3a+2b) (a+2b) + (a+2b)^2$

$= x^2 -2xy +y^2$ [ধরি, $3a +2b = x$, এবং $a+2b = y$]

$= (x-y)^2$ [ (II) নং সূত্র থেকে পেলাম ]

$= \{(3a + 2b) - (a+2b)\}^2$ [$x = 3a +2b$ এবং $y = a+2b$ বসিয়ে পাই]

$= (3a + 2b-a-2b)^2$

$= (2a)^2 = 4a^2$

154

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

19 আমি $x^2y^2 - 10xyz +25z^2$ বীজগাণিতিক সংখ্যামালাকে পূর্ণবর্গাকারে সাজাই ও মান বের করি যখন $x = 1, y = -1$ ও $z =2$

$x^2y^2 - 10 xyz + 25z^2$

$= (xy)^2-2\times xy \times 5z + (5z)^2$

$= (xy -5z)^2$ [ (II) নং সূত্র থেকে পেলাম ]

এবার দেখি, $x = 1, y = -1$ ও $z =2$ বসিয়ে কি মান পাই (নিজে করি)।

কষে দেখি- 12.1

1. $(a+b)$ কে $(a+b)$ দিয়ে গুণ করলে গুণফল নীচের কোনটি হবে দেখি।

(i) $a^2+b^2$ (ii) $(a+b)^2$ (iii) $2(a+b)$ (iv) $4ab$

2. $(x +7)^2 = x^2 + 14x+k$ হলে $k$ -এর মান নীচের কোনটি হবে লিখি।

(i) $14$ (ii) $49$ (iii) $7$ (iv) কোনটিই নয়।

3. $a^2 + b^2$ - এর সাথে কোন বীজগাণিতিক সংখ্যামালা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।

(i) $4ab$ (ii) $-4ab$ (iii) $2ab$ বা $-2ab$ (iv) $0$

4. $(a+b)^2= a^2 + 6a + 9$ হলে $b$ -এর ধনাত্মক মান নীচের কোনটি হবে লিখি

(i) $9$ (ii) $6$ (iii) $3$ (iv) $-3$

5. $x^2 +\frac{1}{4} + \Box x$ এর সঙ্গে নীচের কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।

(i) $\frac{1}{64}$ (ii) $-\frac{1}{64}$ (iii) $\frac{1}{8}$ (iv) কোনটিই নয়।

6. (i) $k$ - এর কোন মান বা মানগুলির জন্য $c^2 + kc + \frac{1}{9}$ পূর্ণবর্গ হবে লিখি।

(ii) $9p^2+\frac{1}{p^2}$ সংখ্যামালাটি থেকে কোন সংখ্যা বা সংখ্যাগুলি বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে তা নির্ণয় করি।

(iii) $(x- y)^2 = 4- 4y +y^2$ হলে $x$ এর মান কত হবে তা নির্ণয় করি।

155

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

(iv) $(c-3)^2 = c^2+kc +9$ হলে $k$ -এর মান কী হবে লিখি।

7. সূত্রের সাহায্যে সরল করি।

(i) $(2q -3z)^2 - 2 (2q – 3z) (q -3z) +(q - 3z)^2$

(ii) $(3p +2q - 4r)^2 + 2(3p + 2q-4r) (4r - 2p -q) +(4r -2p -q)^2$

8. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করি।

(i) $16a^2 - 40ac + 25c^2$ (ii) $4p^2 - 2p + \frac{1}{4}$

(iii) $1+\frac{4}{a} + \frac{4}{a^2}$ (iv) $9a^2+24ab +16b^2$

9. পূর্ণবর্গাকারে প্রকাশ করে মান নির্ণয় করি।

(i) $64a^2+ 16a+1$ যখন $a=1$

(ii) $25a^2 - 30ab + 9b^2$ যখন $a=3$ এবং $b=2$

(iii) $64 - \frac{16}{p} + \frac{1}{p^2}$, যখন $p= -1$

(iv) $p^2q^2 + 10pqr +25r^2$ যখন $p= 2, q = -1$ ও $r=3$

10. $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ এবং

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ বা

$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ -এর সাহায্যে

(i) $st$ ও $(s^2+t^2)$ মান লিখি যখন $s+t=12$ ও $s-t =8$

(ii) $8xy (x^2 +y^2)$ - এর মান লিখি যখন $(x+y)=5$ এবং $(x-y)= 1$

(iii) $\frac{x^2 +y^2}{2xy}$ এর মান লিখি যখন $(x+y)=9$ এবং $(x-y)= 5$

(iv) $36$ -কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি। [সংকেত, $36 = 4\times9 = \left(\frac{4+9}{2}\right)^2-\left(\frac{4-9}{2}\right)^2$]

(v) $44$ কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

(vi) $8x^2 +50y^2$ কে দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করি।

(vii) $x$ কে দুটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করি।

156

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দুটি গুণ করি ও কী পাই দেখি

$(x+5) \times (x+3) = x\times(x+3) +5\times(x+3)$

$= x^2 +3x+5x+15 = x^2 +8x+15$

$\therefore (x+5) \times (x+3) = x^2 +8x +15$ (IV)

এবার (IV) নং -এর সমান চিহ্নের দুপাশে $x = 6$ বসিয়ে কী পাই দেখি। বামদিকে $x =6$ বসিয়ে পাই, $(6+5) \times (6+3) = 11\times9=99$ আবার ডানদিকে $x =6$ বসিয়ে পাই, $6^2 +8\times6+15=36+48+15 =99$ পেলাম, $(6+5) \times (6+3) = 6^2 +8\times6+15$ $x$- এর যে কোনো মানের জন্য, $(x+5) \times (x+3) = x^2 +8x+15$ -এর সমান চিহ্নের দুপাশে মান সমান হয়।

এই (IV) নং সম্পর্ককে কী বলব যখন $x$ -এর যে কোনো মান সমান চিহ্নের দু-পাশে বসিয়ে দুপাশেই একই মান পাচ্ছি? এদের অভেদ বলা হয়।

এবার বুঝেছি,

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2$ $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2 (a^2 + b^2)$ $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

এরা সবাই অভেদ।

20 এবার $(x+a)$ ও $(x+b)$ এর গুণফল কত দেখি।

$(x+a) \times (x+b) = x \times (x+b)+a \times (x+b)$

$= x^2+bx+ax +ab$

$= x^2+(a+b)x+ab$

পেলাম $(x+a) (x+b) = x^2 +(a+b)x +ab$ (V)

157

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

21 (V) নং অভেদে $x= -2$ বসিয়ে পাই

$(-2+a) (-2 +b) = -2 (-2+b) +a (-2 + b)$

$= (-2) \times (-2) +(-2) \times b + a \times (-2) +a \times b$

$= 4 - 2b -2a +ab$

$= 4-2 (b+a) +ab$

$(-2)^2+(a+b) (-2) +a \times b = 4 -2 (a+b) +ab$

$\therefore (-2+a) (-2+b) = (-2)^2 + (a+b)(-2) +a \times b$

$(x+a) (x+b) = x^2 + (a+b) x+ab$ -এই অভেদটি ব্যবহার করি।

22 নীচের সংখ্যামালাগুলির গুণফল বের করি

(i) $(x+2) (x+5)$ (ii) $(x+3) (x-7)$ (iii) $(x+1) (x+8)$ (iv) $(x-6) (x+9)$.

(i) $(x+a) (x+b) = x^2 + (a+b)x+ab$

এই অভেদটিতে, $a=2$ ও $b=5$ বসিয়ে পাই,

$(x+2) (x+5) = x^2 + (2+5)x +2\times5$

$= x^2 +7x +10$

(ii) আবার অভেদটিতে, $a=-3, b=-7$ বসিয়ে পাই,

$(x-3) (x-7) = x^2 +(-3-7)x + (-3) (-7)$

$= x^2 -10x +21$ [ (iii) ও (iv) নিজে করি]

I নং ও II নং অভেদদুটি লিখি ও অন্যভাবে সাজাই।

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ $(a+b)^2 - 2ab = a^2+2ab+b^2-2ab = a^2+b^2$ $\therefore (a+b)^2-2ab = a^2+b^2$ $\therefore a^2+b^2= (a+b)^2-2ab$ ..........(VI)

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ $(a-b)^2 + 2ab = a^2-2ab+b^2+2ab$ $\therefore (a-b)^2+2ab = a^2+b^2$ $\therefore a^2+b^2= (a-b)^2+2ab$ ..........(VII)

158

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

(VI) ও (VII) - নং অভেদের সাহায্যে কিছু বীজগাণিতিক সংখ্যামালার মান খোঁজার চেষ্টা করব।

23 ধরি $a + b = 0$ এবং $ab= - 25$; $a^2+b^2$ এর মান কি হবে হিসাব করি।

প্রথম পদ্ধতি

$(a+b)^2= a^2+b^2+2ab$ মান বসিয়ে পাই, $0^2 = a^2+b^2+2\times(-25)$ বা, $0 = a^2+b^2 -50$ বা, $a^2+b^2 = 50$ $\therefore a^2+b^2= 50$

দ্বিতীয় পদ্ধতি

$a^2+b^2 =(a+b)^2-2ab$ $= (0)^2 - 2\times (-25)$ $[\because a+b=0$ এবং $ab= - 25 ]$ $= 0 +50$ $= 50 \therefore a^2+b^2= 50$

24 যদি, $2p + \frac{1}{p} = 5$ হয়, তাহলে $(p+\frac{1}{2p})^2$ এবং $p^2+\frac{1}{4p^2}$ এর মান বের করি।

প্রথম পদ্ধতি

$2p+\frac{1}{p}=5$ বা, $2p+\frac{2}{2p}=5$ বা, $2(p + \frac{1}{2p})= 5$ বা, $p+\frac{1}{2p}=\frac{5}{2}$

$\therefore \left(p+\frac{1}{2p}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2$ [উভয়দিকে বর্গ করে পাই]

$= \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$

আবার, $\left(p+\frac{1}{2p}\right)^2=\frac{25}{4}$

বা, $p^2+2\times p\times\frac{1}{2p}+\left(\frac{1}{2p}\right)^2 = \frac{25}{4}$

বা, $p^2+1+\frac{1}{4p^2} = \frac{25}{4}$

বা, $p^2+\frac{1}{4p^2} = \frac{25}{4}-1$

$= \frac{25-4}{4}=\frac{21}{4}$

সুতরাং $p^2 + \frac{1}{4p^2} = 5\frac{1}{4}$

দ্বিতীয় পদ্ধতি

$2p+\frac{1}{p}=5$ বা, $2 \left(p+\frac{1}{2p}\right)=5$

$\therefore \left(p+\frac{1}{2p}\right)=\frac{5}{2}$

$\left(p+\frac{1}{2p}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2$ [উভয়দিকে বর্গ করে পাই]

$= \frac{25}{4}=6\frac{1}{4}$

$p^2+\frac{1}{4p^2} = p^2+\left(\frac{1}{2p}\right)^2$

$= \left(p+\frac{1}{2p}\right)^2-2.p.\frac{1}{2p}$

$= \left(\frac{5}{2}\right)^2-1$

$= \frac{25}{4}-1$

$= \frac{25-4}{4}=\frac{21}{4}$

$= 5\frac{1}{4}$

159

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

25 $6 \left(x-\frac{1}{x}\right)=5$ হলে $x^2+\frac{1}{x^2}$-এর মান কত হবে হিসাব করি।

প্রথম পদ্ধতি

$6 \left(x - \frac{1}{x}\right)= 5$

বা, $x-\frac{1}{x}= \frac{5}{6}$

$\left(x-\frac{1}{x}\right)^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2$, [উভয়দিকে বর্গ করে পাই]

বা, $x^2-2.x.\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2= \frac{25}{36}$

বা, $x^2-2+\frac{1}{x^2}= \frac{25}{36}$

বা, $x^2+\frac{1}{x^2}-2+2=\frac{25}{36} + 2$ [উভয়দিকে 2 যোগ করে পাই]

$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{25}{36}+2 = \frac{97}{36}$

দ্বিতীয় পদ্ধতি

$6 \left(x-\frac{1}{x}\right)=5$

$\therefore x-\frac{1}{x}=\frac{5}{6}$

$x^2+\frac{1}{x^2} = x^2+\left(\frac{1}{x}\right)^2$

$= \left(x - \frac{1}{x}\right)^2+2.x.\frac{1}{x}$

$= \left(\frac{5}{6}\right)^2+2$

$= \frac{25}{36}+2 = \frac{97}{36}$

26 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$ হলে, $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}$-এর মান দেখি।

প্রথম পদ্ধতি

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$

বা, $\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2$ [উভয় দিকে বর্গ করে পাই]

বা, $\left(\frac{x}{y}\right)^2+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{9}{4}$

বা, $\frac{x^2}{y^2}+2+\frac{y^2}{x^2}=\frac{9}{4}$

বা, $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=\frac{9}{4}-2 = \frac{9-8}{4} = \frac{1}{4}$

দ্বিতীয় পদ্ধতি

এখন $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} = \left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{x}\right)^2$

$= \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right)^2+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}$

$= \left(\frac{3}{2}\right)^2+2$

$= \frac{9}{4}+2$

$= \frac{9+8}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$

27 এবার $(a+b)^2$ -কে $(a-b)^2$ দিয়ে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

$(a+b)^2= a^2+b^2+2ab = a^2+b^2-2ab + 4ab = (a-b)^2 + 4ab$

28 এবার $(a-b)^2$ -কে $(a+b)^2$ দিয়ে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

$(a-b)^2= \mathbf{a^2+b^2-2ab}$ = $a^2+b^2+2ab - 4ab = (a+b)^2 - 4ab$

160

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

পেলাম, $(a+b)^2= (a-b)^2 + 4ab$ (VIII)

$(a-b)^2= (a+b)^2 - 4ab$ (IX)

29 (VIII) ও (IX) নং -এর সাহায্যে $m+n=10$ ও $mn=9$ হলে $(m-n)$ -এর ধনাত্মক মান হিসাব করার চেষ্টা করি।

$(m-n)^2 = (m+n)^2 - 4mn = (10)^2 - 4 \times 9 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$\therefore m-n = \sqrt{8^2} = 8$

কষে দেখি - 12.2

1. $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x + ab$ -এই অভেদের সাহায্যে নীচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুণ করি।

(i) $(x+7) (x+1)$ (ii) $(x-8) (x-2)$ (iii) $(x+9) (x-6)$ (iv) $(2x+1)(2x-1)$ (v) $(xy-4) (xy+2)$ (vi) $(a^2+5) (a^2-4)$

2. সূত্রের সাহায্যে দেখাই যে-

(i) $(2x+3y)^2- (2x-3y)^2= 24xy$, (ii) $(a+2b)^2+(a-2b)^2=2(a^2+4b^2)$ (iii) $(1+m)^2= (1-m)^2+ 4lm$, (iv) $(2p-q)^2= (2p+q)^2-8pq$ (v) $(3m+4n)^2=(3m-4n)^2+48mn$ (vi) $(6x+7y)^2-84xy=36x^2+49y^2$ (vii) $(3a-4b)^2+24ab=9a^2+16b^2$ (viii) $\left(2a+\frac{1}{a}\right)^2= \left(2a-\frac{1}{a}\right)^2 +8$

3. প্রতিক্ষেত্রে সূত্রের সাহায্যে সমস্যার সমাধান করি।

(i) $x-y =3,xy =28$ হলে $x^2+y^2$ -এর মান কত লিখি।

(ii) $a^2+b^2= 52, a-b =2$ হলে, $ab$ - এর মান কত লিখি।

(iii) $l^2+m^2 =13$ এবং $l+m = 5$ হলে $lm$ - এর মান কত লিখি।

(iv) $a+\frac{1}{a}=4$ হলে $a^2+\frac{1}{a^2}$ -এর মান কত লিখি।

(v) $a-\frac{1}{a}=4$ হলে $a^2+\frac{1}{a^2}$-এর মান কত লিখি

(vi) $5x + \frac{1}{x} = 6$ হলে দেখাই যে $25x^2 + \frac{1}{x^2}=26$

161

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

(vii) $2x + \frac{1}{x} = 5$ হলে $4x^2 + \frac{1}{x^2}$-এর মান লিখি।

(viii) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 3$ হলে $\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2}$-এর মান লিখি।

(ix) $x^2 + y^2 = 4xy$ হলে প্রমাণ করি যে $x^4 + y^4 = 14x^2y^2$

(x) $2a + \frac{1}{3a} = 6$ হলে $4a^2 + \frac{1}{9a^2}$ -এর মান কত লিখি।

(xi) $5a +\frac{7}{a} = 5$ হলে $25a^2 + \frac{49}{a^2}$ -এর মান কত লিখি।

(xii) $2x - \frac{1}{x} = 4$ হলে $x^2 + \frac{1}{4x^2}$ -এর মান লিখি।

(xiii) $m + \frac{1}{m} = -p$ হলে দেখাই যে $m^2 + \frac{1}{m^2} = p^2-2$

(xiv) $a^2 + b^2 = 5ab$ হলে দেখাই যে $\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} = 23$

(xv) $6x^2 - 1 = 4x$ হলে দেখাই যে $36x^2 + \frac{1}{x^2} = 28$

(xvi) $m + \frac{1}{m} = p - 2$ হলে দেখাই যে $m^2 + \frac{1}{m^2} = p^2 - 4p +6$

(xvii) $m-\frac{1}{m} - 2 = 6$ হলে $(m-2)^2 + \frac{1}{(m - 2)^2}$ এর মান কত লিখি।

হাতেকলমে

বর্গাকার ও আয়তাকার কাগজ কেটে ও জুড়ে কিছু করার চেষ্টা করি।

$\mathbf{a}$ সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি নীল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ড ABCD কেটে নিলাম। তাই, ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\mathbf{a^2}$ বর্গসেমি. [ধরি, $a = 6$ সেমি.]

এবার $\mathbf{b}$ সেমি. দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি লাল রঙের বর্গাকার পিচবোর্ড EFGH কেটে নিলাম। EFGH বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\mathbf{b^2}$ বর্গসেমি. [ধরি, $b = 2$ সেমি.]

162

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

এবার পাশের ছবির মতো ABCD বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডের উপরে EFGH বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ড রাখলাম।

এবার পাশের ছবির মতো G ও C বিন্দু দুটি যোগ করলাম। এবার GC বরাবর কাঁচি দিয়ে কেটে দুটি ট্রাপিজিয়াম HGCD ও GFBC পেলাম ও আলাদা সরিয়ে রাখলাম।

ছবি - 1

HGCD ও GFBC ট্রাপিজিয়াম দুটি পাশের ছবির মতো সাজিয়ে করলাম:

ছবি - 2

কী পেলাম দেখি।

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= a^2$ বর্গসেমি. EFGH বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= b^2$ বর্গসেমি.

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল - EFGH বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ট্রাপিজিয়াম (HDCG) -এর ক্ষেত্রফল + ট্রাপিজিয়াম (FGCB) -এর ক্ষেত্রফল [(1) নং ছবি থেকে]

$= \text{HDFB আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল}$ [(2) নং ছবি থেকে]

$= \text{HB \times HD}$

$a^2-b^2 = (a+b)\times(a-b)$

$\therefore (a^2-b^2) = (a+b)(a-b)$

এভাবে হাতেকলমে রঙিন কাগজ কেটে ও জুড়ে দেখলাম

$(a^2-b^2) = (a+b)(a-b)$ বা $(a+b) (a-b) = (a^2-b^2)$

163

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

30 $(a+b) \times (a-b)$ গুণ করে কি পাই দেখি।

$(a+b)\times(a-b) = (a+b) \times a - (a+b) \times b$

$= a^2 + ba - ab - b^2$

$= a^2 + ab - ab - b^2$ $[ab=ba]$

$= a^2-b^2$

পেলাম $(a+b)\times(a-b) = a^2-b^2$

$a= -2, b= 9$ বসিয়ে কী পাই দেখি।

$(a+b) \times (a-b) = (-2+9) \times (-2-9) = 7 \times (-11) = - 77$

$a^2-b^2 = (-2)^2 - (9)^2 = 4-81 = - 77$

$\therefore (a+b) (a-b) = a^2-b^2$

a ও b এর যেকোনো মান বসিয়ে যাচাই করি $(a+b) (a-b) = (a^2-b^2)$ [ নিজে করি ]

অন্যরকমভাবে হাতেকলমে রঙিন কাগজ কাটি ও বড়ো পিচবোর্ডে আটকে দেখি

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= a^2$ বর্গএকক EFCG বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= b^2$ বর্গএকক

ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল - EFCG বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$= \text{AHEI বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + IBFE আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + DHEG আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AHGD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল}$ [ (iii) নং ছবির মতো সাজিয়ে পেলাম ]

$= \text{AH \times HG}$

$= (a-b) \times (a+b)$

$\therefore a^2-b^2= (a+b)\times(a-b)$

164

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি নিয়ে বিভিন্ন যে অভেদগুলি জানলাম সেগুলি লিখি ও তাদের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি।

$(a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)$ (i)

$(a-b)^2 = (a^2-2ab+b^2)$ (ii)

$(a+b) (a-b) = (a^2-b^2)$ (iii)

$(x+a) (x+b) = x^2 + (a+b) x + ab$ (iv)

নিজে করি- 12.3

1. (iv) নং অভেদে $x = a$ এবং $a = b$ বসিয়ে (i) নং অভেদের মতো পাই কিনা দেখি।

2. (iv) নং অভেদে $x = a$ ও $a = -b$ বসিয়ে (iii) নং অভেদের মতো পাই কিনা দেখি।

3. (iv) নং অভেদে $x = a$ ও $a = -b$ বসিয়ে কোন অভেদটি পাই দেখি।

31 $a^2-b^2= (a+b)(a-b)$ -এর সাহায্যে (i) $78^2 - 22^2$ ও (ii) $94 \times 106$-এর মান বের করি।

(i) $78^2 - 22^2 = (78+22) \times \Box$

$= \Box \times 56 = 5600$

(ii) $94 \times 106 = (100 - \Box) \times (100 + \Box)$

$= \Box - \Box$

$= \Box = 9964$

32 সূত্রের সাহায্যে (i) $(p+5) (p-5)$ -কি পাই দেখি ও (ii) $81-a^2$-কে দুটি দ্বিপদী সংখ্যামালার গুণফল আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

(i) $(p+5) (p-5) = p^2 - (5)^2$

$= p^2 - 25$

(ii) $81-a^2 = (9)^2 - (a)^2$

$= (9+a) (9-a)$

165

অধ্যায় : 12

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

33 সূত্রের সাহায্যে $(2x+4y-3z)^2 - (2x-4y+3z)^2$ - এর সরলতম মান বের করি।

$(2x+4y-3z)^2 - (2x-4y+3z)^2$

$= (2x+4y-3z+2x-4y+3z) \{(2x+4y-3z) - (2x-4y+3z)\}$

$= 4x \times \{2x+4y-3z-2x+4y-3z\}$

$= 4x \times (8y-6z)$

$= 32xy - 24xz$

34 সূত্রের সাহায্যে $(5m+2n+3p) (5m+2n-3p)$ - এর গুণফল কী হবে লিখি।

$(5m+2n+3p) (5m+2n-3p)$

$= \{(5m+2n)+3p\}\{(5m+2n)-3p\}$

$= (a+b)(a-b)$ [ ধরি, $5m+2n = a, 3p = b$ ]

$= (a^2-b^2)$

$= (5m+2n)^2 - (3p)^2$

$= 25m^2 + 20mn + 4n^2 - 9p^2$

35 সূত্রের সাহায্যে $(x+y) (x-y) (x^2+y^2) (x^4+y^4)$ -এদের ক্রমিক (পরপর) গুণ করি ও কী পাই দেখি।

$(x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

$= \{\Box - \Box\} (x^2+y^2) (x^4+y^4)$

$= (\Box - \Box) (x^2+y^2) (x^4+y^4)$

$= (x^2-y^2)(x^2+y^2) (x^4+y^4)$

$= (\Box - \Box) (x^4+y^4)$

$= x^8-y^8$

166

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী

অধ্যায় : 12

কষে দেখি-12.3

1. $(a^2-b^2) = (a+b) (a-b)$ এই সূত্রের সাহায্যে মান নির্ণয় করি।

(i) $(37)^2-(13)^2$ (ii) $(2.06)^2-(0.94)^2$ (iii) $(78) \times (82)$

(iv) $1.15 \times 0.85$ (v) $(65)^2-(35)^2$

2. (i) $k-p^2 = (9+p) (9-p)$ হলে $k$ -এর মান কত হবে বের করি।

(ii) $(25-4x^2) = (5+ax) (5-ax)$ হলে $a$ -এর ধনাত্মক মান কত হবে হিসাব করি।

(iii) $(4-x) \times \Box = (16-x^2)$ হলে ফাঁকা ঘরে কি হবে লিখি।

3. সূত্রের সাহায্যে গুণফলরূপে প্রকাশ করি।

(i) $25l^2 - 16m^2$ (ii) $49x^4 - 36y^4$ (iii) $(2a+b)^2-(a+b)^2$ (iv) $(x+y)^2-(a+b)^2$ (v) $(x+y-z)^2 - (x-y+z)^2$ (vi) $(m+p+q)^2 - (m-p-q)^2$

4. সূত্রের সাহায্যে ক্রমিক গুণফল নির্ণয় করি।

(i) $(c+d) (c-d) (c^2+d^2)$ (ii) $(1-3x^2) (1+3x^2) (1+9x^4)$ (iii) $(a^2+b^2) (a^2-b^2) (a^4+b^4)$

5. নিচের বীজগাণিতিক সংখ্যামালাগুলি গুণফলরূপে প্রকাশ করি।

(i) $16c^4-81d^4$ (ii) $p^4q^4 - r^4s^4$ (iii) $81 - x^4$ (iv) $625 - a^4b^4$

6. $(p+q)^4-(p-q)^4 = 8pq (p^2+q^2)$ — প্রমাণ করি।

7. সূত্রের সাহায্যে গুণ করি: $(a+b+c) (b+c-a) (c+a-b) (a+b-c)$

8. $x = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ এবং $y = \frac{a}{b} - \frac{b}{a}$ হলে দেখাই যে, $x^4 + y^4 - 2x^2y^2 = 16$

9. সূত্রের সাহায্যে গুণ করি $(a^2+a+1) (a^2-a+1)(a^4-a^2+1)$

10. যদি $x = \left(a+\frac{1}{a}\right)$ এবং $y = \left(a - \frac{1}{a}\right)$ হয়, তাহলে $x^4+y^4-2x^2y^2$ -এর মান সূত্রের সাহায্যে বের করি।

11. $(4x^2+4x+1-a^2+8a-16)$-কে দুটি বর্গের অন্তররূপে ($a^2-b^2$ আকারে) প্রকাশ করি।

12. $a^2+\frac{1}{a^2} - 3$ কে দুটি বর্গের অন্তররূপে ($a^2-b^2$ আকারে) প্রকাশ করি।

167