18. প্রতিসাম্য 📐

আজ আমি, মাসুম ও সুখদেব তিনজনে মিলে এক মজার খেলা খেলছি। আমরা বিভিন্ন আকারের কাগজকে কয়েকটি ভাঁজ করে নানাভাবে কেটে ভাঁজ খুলে সুন্দর সুন্দর কী কী আকার পাচ্ছি দেখছি।

প্রথমে একটি আয়তক্ষেত্রাকার নীল কাগজকে নীচের মতো দুটি সমান ভাঁজ করে কাটলাম ও সাদা কাগজে আটকে দিলাম।

দেখছি সাদা অংশটি অর্থাৎ কাগজ কেটে যে ছবিটি পেলাম সেটি ☐ [রৈখিক প্রতিসম/রৈখিক প্রতিসম নয়] মাসুম কিন্তু ছবি এঁকে তার পরে কেটে নিয়ে পেল – মাসুমের ছবিটি ☐ [রৈখিক প্রতিসম/রৈখিক প্রতিসম নয়]

কিন্তু সুখদেবের কাছে আমার বোন খুবলম্বা কাপড় এনে তার পুতুলের জামার জন্য কেটে দিতে বলল। কিন্তু সুখদেব ঠিকমতো জামা কাটতে পারেনি। এর মাঝ বরাবর সমান দু-ভাঁজ করলে বাঁ দিকের সাথে ডানদিক পুরোপুরি মিলবেনা। সুখদেব কাটল

209

অধ্যায় : 18

গণিতপ্রভা – সপ্তম শ্রেণি

সুখদেব অনেকগুলি ছবি আঁকল। তাদের রৈখিক প্রতিসম রেখা খোঁজার চেষ্টা করি।

দেখছি, D -এর প্রতিসম রেখা অনুভূমিক। কিন্তু বাড়ির প্রতিসম রেখা উলম্ব।

মাসুম কিছু বর্গক্ষেত্রাকার কাগজ ভাঁজ করে ফুটো করে খুলে দিয়েছে। এই ফুটো দেখে প্রতিসম রেখা কী হবে লেখার চেষ্টা করি।

আমি নানা রকমের ত্রিভুজ আঁকি ও ত্রিভুজাকারক্ষেত্রগুলি কেটে ভাঁজ করে দেখি প্রতিটি ত্রিভুজের কতগুলি প্রতিসম রেখা পাচ্ছি।

210

প্রতিসাম্য 📌

অধ্যায় : 18

নিজে একইভাবে কাগজ কেটে দেখি

• বর্গক্ষেত্রের প্রতিসম রেখা ☐ টি, আয়তক্ষেত্রের প্রতিসম রেখা ☐ টি, সরলরেখাংশের প্রতিসম রেখা ☐ টি।

একই মাপের সরলরেখাংশ ও প্রত্যেকটি কোণের মান সমান নিয়ে আমি কিছু সামতলিক চিত্র আঁকলাম। প্রতিটি সামতলিক চিত্রে প্রতিসম রেখার সংখ্য নিজে খুঁজি ও লিখি।

দেখছি এই ত্রিভুজের 3 টি বাহু সমান ও তিনটি কোণ সমান। প্রতিসম রেখা ☐ টি। চতুর্ভুজের 4 টি বাহু সমান ও 4 টি কোণ সমান হলে প্রতিসম রেখা ☐ টি কিন্তু (3) নং ছবি বা (4) নং ছবিকে কি বলব?

(3) নং সামতলিক চিত্রের পাঁচটি বাহু আছে। তাই এটি পঞ্চভুজ। আবার প্রতিটি বাহু ও কোণের মান সমান। তাই (3) নং সামতলিক চিত্রটি সুষমপঞ্চভুজ।

এবার বুঝেছি, (4) নং সামতলিক চিত্রটি ☐ ষড়ভুজ। [নিজে লিখি]

যে বহুভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান ও প্রতিটি কোণের মান সমান তাকে সুষম বহুভুজ বলে।

সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের প্রতিসম রেখা ☐ টি। সুষম ষড়ভুজের প্রতিসম রেখা ☐ টি।

কষে দেখি-18.1 📝

(1) নীচের প্রতিসমরেখায় আয়না বসিয়ে ছবিগুলি সম্পূর্ণ করার চেষ্টা করি।

(2) A, B, C, D -এর আয়নায় প্রতিবিম্ব আঁকি

211

অধ্যায় : 18

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

(3) নীচের সামতলিক চিত্রের কোন কোন চিত্রে প্রতিসম রেখা আছে এবং কোন কোন চিত্রের প্রতিসমরেখা নেই ছবি এঁকে কেটে ভাঁজ করে দেখি ও লিখি।

সামতলিক চিত্র	প্রতিসমরেখার সংখ্যা	সামতলিক চিত্র	প্রতিসমরেখার
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ		সামান্তরিক
বিষমবাহু ত্রিভুজ		বর্গক্ষেত্র
সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম		রম্বস
		সমবাহু ত্রিভুজ

(4) বৃত্তের যে কোনো ☐ বরাবর নেওয়া সরলরেখা বৃত্তটির প্রতিসমরেখা। [নিজে লিখি]

(5) দুইয়ের বেশি প্রতিসম রেখা থাকা যেকোন জ্যামিতিক চিত্রের প্রতিসম রেখাগুলি সর্বদা ☐। [নিজে লিখি]

6. AE -এর রৈখিক প্রতিসম রেখা খুঁজি।

দেখছি, A -এর প্রতিসম রেখাটি ☐। [অনুভূমিক / উল্লম্ব] E -এর প্রতিসম রেখাটি ☐। [অনুভূমিক / উল্লম্ব]

নিচের বর্ণগুলির কোনগুলির প্রতিসম রেখা অনুভূমিক, কোনগুলির উল্লম্ব ও কোনগুলির অনুভূমিক এবং উল্লম্ব দুই-ই আছে লিখি।

প্রতিসাম্য

ঠিকমতো পরপর সাজাই

অধ্যায় : 18

আমরা চারটি বর্গক্ষেত্রাকার রঙিন চিত্র একটি বর্গক্ষেত্রাকার সাদা পিচবোর্ডে আটকালাম। পিচবোর্ডটি দেওয়ালে টাঙালাম।

বর্গক্ষেত্রের মধ্যবিন্দু $O$-কে কেন্দ্র করে কত ডিগ্রি ঘোরালে ছবিটি আবার সম্পূর্ণভাবে একই রকম দেখতে হয় দেখি।

পিচবোর্ডের সুতোটি দেওয়াল থেকে খুলে ফেললাম। এরপর পিচবোর্ডের $O$ বিন্দুতে একটি পিন আঁটকে ওই বিন্দুকে কেন্দ্র করে দু-বার ঘড়ির কাটার দিক বরাবর $90^\circ$ কোণে ঘুরিয়ে কী পাই দেখি।

📌 $O$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডটি ঘড়ির কাঁটার দিকে $90^\circ$ ঘোরালে আগের মতো অবস্থান ফিরে পাই

এই বিন্দুকে কি বলব? এই $O$ বিন্দুর সাপেক্ষে বর্গক্ষেত্রাকার পিচবোর্ডকে ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীত দিকে ঘুরিয়ে ঠিক আগের মতো দেখানোকেও বা কী বলব?

$O$ বিন্দুকে ঘূর্ণন কেন্দ্র বলে। ঘূর্ণন কেন্দ্রের সাপেক্ষে নির্দিষ্ট কোণে ঘুরিয়ে ঠিক আগের মতো দেখানোকে ঘূর্ণন প্রতিসাম্য বলে। সব থেকে কম যত ডিগ্রি কোণে ঘূর্ণনের ফলে চিত্রটি (বস্তুটি) নিজের সঙ্গে মিলে যায় সেই কোণের পরিমাপকে ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোণ বলে। সম্পূর্ণ একবার ঘুরে আসতে অর্থাৎ $360^\circ$ কোণ ঘুরতে যতবার প্রথম অবস্থার সাথে সম্পূর্ণভাবে মিলে যায় তাকে ঘূর্ণন প্রতিসাম্য মাত্রা বলে। এবার বুঝেছি ওই বর্গক্ষেত্র প্রতিসাম্যের ঘূর্ণন কেন্দ্র $O$ এবং ঘূর্ণন মাত্রা $[4]$, যখন ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ $90^\circ$।

অধ্যায় : 18

গণিতপ্রভা -- সপ্তম শ্রেণি

কিন্তু যে কোনো চিত্রকে (বস্তুকে) ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের বিন্দুকে কেন্দ্র করে $360^\circ$ বা সম্পূর্ণ একপাক ঘোরালে আবার আগের চিত্রকে (বস্তুকে) ফিরে পাব। তবে কী যে কোনো চিত্রের বা বস্তুর ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ $360^\circ$ বলতে পারি?

আমরা ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ বলতে বুঝি $360^\circ$-এর কম কিন্তু $0^\circ$-এর বেশি।

👧 আমি মেলা থেকে কাগজের একটি খেলনা কিনেছি। এটি হাওয়া দিলেই ঘুরতে থাকে।

এবার এই খেলনাটির ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা খুঁজতে চেষ্টা করি।

দেখছি $O$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $90^\circ$ কোণে ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীত দিকে ঘোরার পরে প্রাথমিক অবস্থায় ফিরে আসছে। অর্থাৎ একইরকম দেখাচ্ছে।

ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কেন্দ্র = ________ বিন্দু। ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ = ________ ডিগ্রি। [$360^\circ \div 4$ = ________ ডিগ্রি] ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা= ________ [নিজে লিখি]

👧 আমি আমার বাড়ির সিলিং ফ্যানের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা খুঁজি।

$O$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে ________ ডিগ্রি কোণে ঘুরে ________ বার প্রাথমিক অবস্থায় ফিরে আসছে অর্থাৎ একই রকম দেখাচ্ছে।

ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কেন্দ্র = ________ বিন্দু। ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ = ________ ডিগ্রি। [$360^\circ \div 3$ = ________ ডিগ্রি] ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা= ________ [নিজে লিখি]

প্রতিসাম্য

অধ্যায় : 18

কোনো চিত্র (বা বস্তু) কোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘূর্ণনের ফলে প্রতিসম হয় এবং ওই চিত্র (বা বস্তুর) যদি $n$ মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসাম্য থাকে তবে ঐ চিত্র (বা বস্তুর) ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ = $\frac{360^\circ}{n}$ ডিগ্রি

উপরের সমবাহু ত্রিভুজের ঘূর্ণন দেখি ও নিজে লিখি, সমবাহু ত্রিভুজের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কেন্দ্র = $\square$ সমবাহু ত্রিভুজের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ = $\square$ সমবাহু ত্রিভুজের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা = $\square$

নীচের ছবিগুলির ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কেন্দ্র, প্রতিসাম্য কোণ ও প্রতিসাম্য মাত্রা লিখি।

নীচের সামতলিক চিত্রগুলির কোনগুলি রৈখিক প্রতিসম ও কোনগুলি ঘূর্ণন প্রতিসম আবার কোনগুলি রৈখিক প্রতিসম ও ঘূর্ণন প্রতিসম দুটিই লিখি।

(i) বৃত্ত রৈখিক প্রতিসম ও ঘূর্ণন প্রতিসম। (ii) সমবাহু ত্রিভুজ $\square$ প্রতিসম ও $\square$ প্রতিসম। (iii) বর্গক্ষেত্র, সুষম পঞ্চভুজ ও সুষমষড়ভুজ $\square$ ও $\square$ প্রতিসম।

অধ্যায় : 18

গণিতপ্রভা -- সপ্তম শ্রেণি

👧 কাগজে সামতলিক ছবি এঁকে, কেটে দেখি ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কিনা? নীচের ফাঁকা ঘরে লিখি বা যাচাই করি।

সামতলিক ছবি	ছোট করে আঁকি	ঘূর্ণন কেন্দ্র	ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ	ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা
সমবাহু ত্রিভুজ
বর্গক্ষেত্র		কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু বা বিপরীত বাহুগুলির মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশগুলির ছেদবিন্দু
আয়তক্ষেত্র
ট্রাপিজিয়াম
সামান্তরিক		কর্ণদুটির ছেদবিন্দু	$180^\circ$	2
রম্বস		কর্ণদুটির ছেদবিন্দু	$180^\circ$
সুষম পঞ্চভুজ		শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশের ছেদবিন্দু	$\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$	5
সুষম ষড়ভুজ

কষে দেখি-18.2

1. i) $\square$ ত্রিভুজ শুধুমাত্র রৈখিক প্রতিসম। ii) $\square$ ত্রিভুজ রৈখিক প্রতিসম আবার ঘূর্ণন প্রতিসাম্যও। iii) বর্গক্ষেত্রের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য মাত্রা $\square$ iv) আয়তক্ষেত্রের ঘূর্ণন প্রতিসম মাত্রা $\square$ টি v) বর্গক্ষেত্রের প্রতিসম রেখা $\square$ টি কিন্তু আয়তক্ষেত্রের প্রতিসম রেখা $\square$ টি। vi) $\square$ [ট্রাপিজিয়াম / সামান্তরিক] শুধুমাত্র ঘূর্ণন প্রতিসাম্য।

প্রতিসাম্য

অধ্যায় : 18

vii) কোন চিত্রের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ $180^\circ$ হলে চিত্রটির ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা $\square$ টি। viii) $\square$ (সুষম পঞ্চভুজ/পঞ্চভুজ) রৈখিক প্রতিসম ও ঘূর্ণন প্রতিসাম্য। ix) সুষম ষড়ভুজের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য $\square$ ডিগ্রি ও মাত্রা $\square$ টি। x) কেবলমাত্র $\square$ ট্রাপিজিয়াম রৈখিক প্রতিসম কিন্তু ঘূর্ণন প্রতিসম নয়। xi) আয়তক্ষেত্রের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কেন্দ্র $\square$ ছেদবিন্দু। xii) সামান্তরিকের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোণ $\square$ ডিগ্রি। xiii) সমবাহু ত্রিভুজের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোণ $\square$ ডিগ্রি। xiv) বর্গক্ষেত্রের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোণ $\square$ ডিগ্রি। xv) $\square$ রৈখিক প্রতিসম নয় কিন্তু দুই মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসাম্য আছে।

2. নীচের কোন জ্যামিতিক চিত্র রৈখিক প্রতিসম কিন্তু ঘূর্ণন প্রতিসম নয়। a) i) সমবাহু ত্রিভুজ ii) সামান্তরিক iii) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ iv) বৃত্ত (b) নীচের কোন জ্যামিতিক চিত্রের ঘূর্ণন প্রতিসম মাত্রা 2 কিন্তু ওই চিত্রটি রৈখিক প্রতিসম নয়। i) আয়তক্ষেত্র ii) সামান্তরিক iii) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ iv) বৃত্ত (c) যে সুষম বহুভুজের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য কোণ $60^\circ$ তার বাহুসংখ্যা i) 2টি ii) 4টি iii) 6 টি iv) 7টি (d) একটি চতুর্ভুজের ঘূর্ণনপ্রতিসাম্য কোণ $180^\circ$ এবং প্রতিসম রেখা 2 হলে চতুর্ভুজটি কি কি হতে পারে দেখি।

অধ্যায় : 18

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

3. নীচের ছবিগুলি দেখি ও নীচের ছক পূরণ করি।

নম্বর	ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কেন্দ্র	ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কোণ	ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের মাত্রা
1
2
3
4
5
6
7
8
9