5. সূচকের ধারণা

আজ আমাদের শ্রেণিতে নাফিসা গল্প বলবে। নাফিসা আমার বন্ধু। সে সৌরজগতের গল্প জানে। সে বলল আমরা যে পৃথিবীর উপরে আছি তার ভর 5,970, 000, 000, 000, 000, 000, 000,000 কিগ্রা.। কিন্তু শুক্রগ্রহের ভর 4, 870, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 কিগ্রা.। আবার বুধগ্রহের ভর 330, 000, 000,000,000, 000, 000, 000 কিগ্রা.।

কে বেশি ভারী বলো?

আমরা প্রথমে বড়ো সংখ্যাকে ছোটো করে লেখার চেষ্টা করি। আমরা জানি $10 \times 10 = 10^2$, একে বলে 10-এর দ্বিতীয় ঘাত।

তাহলে $10 \times 10 \times 10 = 10^3$ লিখতে পারি। (10-এর তৃতীয় ঘাত) $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$ (10-এর ☐ ঘাত) $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5$ (10-এর ☐ ঘাত) $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6$ লিখতে পারি। (10-এর ☐ ঘাত)

এখানে 10 কে নিধান এবং 10 -এর ডানপাশে উপরে লেখা সংখ্যা সূচক।

যেমন $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5$ নিধান $\,\hookleftarrow$ সূচক

$10^5$-কে পড়া হয় 10-এর পঞ্চমঘাত।

আবার $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$
$1000$-এর সূচক আকার হলো $10^3$ ; এখানে নিধান ☐ এবং সূচক ☐
আবার $10000$-এর সূচক আকার হলো ☐

সূচকের ধারণা

অধ্যায় : 5

615 কে যদি এমনভাবে লিখি $615 = 6 \times 100 + 10 + 5 = 6 \times 10^2 + 10 + 5$ এভাবে বিস্তার করাকে 10-এর ঘাতে বিস্তার করা বলা হয়।

তাহলে, $806 = 8 \times 10^2 + 0 \times 10 + 1 \times 6$

1. আমি 781, 978, 4533 ও 7871 -কে 10-এর ঘাতে বিস্তার করার চেষ্টা করি। $781 = 7 \times \text{☐} + 8 \times 10 + 1 \times \text{☐}$ $978 = \text{☐} \times 10^2 + 7 \times \text{☐} + 8 \times \text{☐}$ $4533 = 4 \times 10^3 + 5 \times \text{☐} + 3 \times \text{☐} + 3 \times \text{☐}$ $7871 = 7 \times \text{☐} + 8 \times \text{☐} + 7 \times \text{☐} + 1 \times \text{☐}$

নিজে করি-5.1

10 -এর ঘাতে বিস্তার করি i) 8275 ii) 90925 iii) 12578 iv) 7858

2. এবার 10 ছাড়া অন্য সংখ্যার ঘাতে প্রকাশ করি। (i) $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$ ... 81 -এর ঘাত আকার হলো = ☐ ; এখানে নিধান ☐ ও সূচক ☐ আবার (ii) $243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3= 3^5$ ... 243 -এর ঘাত আকার হলো = ☐ ; এখানে নিধান ☐ ও সূচক ☐

নিজে করি-5.2

1. $100 = 10^{\text{☐}}$
2. $27 = 3^{\text{☐}}$
3. $125 = 5^{\text{☐}}$
4. $32 = 2^{\text{☐}}$
5. $343 = 7^{\text{☐}}$
6. $121 = \text{☐}^{\text{☐}}$
7. $625 = \text{☐}^{\text{☐}}$
8. $2^3 = \text{☐} \times \text{☐} \times \text{☐}$
9. $3^4 = \text{☐} \times \text{☐} \times \text{☐} \times \text{☐}$
10. $729 = 9^{\text{☐}}$
11. $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{\text{☐}}$
12. $(-2) \times (-2) \times (-2) = (-2)^{\text{☐}}$
13. $(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = (-2)^{\text{☐}}$

অধ্যায় : 5

গণিতপ্রভা -- সপ্তম শ্রেণি

পেলাম a যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে, $a \times a = a^2$ (বলব a -এর বর্গ) $a \times a \times a = a^3$ (বলব a -এর ঘন) ...$a \times a \times a \times a \times a = a^{\text{☐}}$ এবং $a \times a \times a \times a \times a = a^{\text{☐}}$

3. এবার, নীচের অঙ্কটি দেখি – $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2$ $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 2^{\text{☐}} \times 5^{\text{☐}}$ $7 \times 7 \times 7 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 7^{\text{☐}} \times 5^{\text{☐}}$

পেলাম, a ও b যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে, $a \times a \times a \times a \times b \times b \times b \times b \times b = a^{\text{☐}} \times b^{\text{☐}}$ পাব। অর্থাৎ $a^3 \times b^3 = a \times a \times a \times b \times b \times b$

4. অন্য সংখ্যা নিয়ে মৌলিক উৎপাদকে ভেঙে মৌলিক সংখ্যার ঘাতের গুণফলের আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

   কোন পূর্ণসংখ্যা যদি 1-এর থেকে বড় হয় এবং 1 ও সেই সংখ্যা ছাড়া ওই সংখ্যার অন্য কোনো ধণাত্মক উৎপাদক না থাকে তাহলে ওই পূর্ণসংখ্যাটিকে মৌলিক সংখ্যা বলে। $100 = 10 \times 10 = 2 \times 5 \times 2 \times 5 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 5^2$ $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^{\text{☐}} \times 3^{\text{☐}}$ $50 = 2 \times 5^{\text{☐}}$ $75 = \text{☐} \times \text{☐}$ $500 = \text{☐} \times \text{☐}$

নিজে করি-5.3

নীচের সংখ্যাগুলি মৌলিক সংখ্যার ঘাতের গুণফলের আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

1. 24
2. 56
3. 63
4. 72
5. 200

5. ঘাত আকারে প্রকাশ করা সংখ্যার ছোটো বড়ো হিসাব করি : (i) $2^3$ ও $3^2$-এর মধ্যে কে ছোটো ও কে বড়ো দেখি : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ $3^2 = 9$ ... $9 > 8$ ... $3^2 > 2^3$ (ii) $4^3$ ও $3^4$-এর মধ্যে কে ছোটো ও কে বড়ো দেখি : $4^3 = \text{☐}$ $(3^4) = \text{☐}$ $64 \text{☐} 81$ ... $3^4 \text{☐} 4^3$ [ফাঁকা ঘরে $>$ বা $<$ বসাই]

নিজে করি-5.4

ফাঁকা ঘবে $>$ বা $<$ চিহ্ন বসাই

1. $5^3 \text{☐} 3^5$
2. $6^2 \text{☐} 2^6$
3. $2^4 \text{☐} 4^2$
4. $7^2 \text{☐} 2^7$
5. $3^4 \text{☐} 4^3$
6. $3^5 \text{☐} 5^3$

সূচকের ধারণা

অধ্যায় : 5

সূচকের ধর্ম খুঁজি $2 \times 2 \times 2 = 2^{\text{☐}}$ $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ... $2^3 \times 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8 = 2^{3+5} = 2^{5+3}$ $2^2 \times 2^3 = (2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^5 = 2^{2+3} = 2^{3+2}$ $2^3 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7 = 2^{3+4} = 2^{4+3}$

যাচাই করি

1. $3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^{4+2}$
2. $3^5 \times 3^2 = 3^{5+2}$
3. $(-4)^3 \times (-4)^4 = (-4)^{3+4}$

... a যে কোনো একটি পূর্ণসংখ্যা, m ও n কে কোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে, $a^m \times a^n = a^{m+n}$ হবে

আবার $2^5 \div 2^2 = \frac{2^5}{2^2} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2} = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 2^{5-2}$ $(-5)^7 \div (-5)^2 = \frac{(-5)^{\text{☐}}}{(-5)^{\text{☐}}} = (-5)^{\text{☐ - ☐}} = (-5)^{\text{☐}}$

... a (শূন্য ছাড়া) যে কোনো পূর্ণসংখ্যা এবং m ও n যে কোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা হলে, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ হবে।

নিজে করি-5.5

1. $2^5 \times 2^7 = \text{☐}$
2. $(-3)^{18} \times (-3)^{12} = \text{☐}$
3. $10^8 \times 10^2 = \text{☐}$
4. $2^{15} \div 2^{13} = \text{☐}$
5. $9^{15} \div 9^{14} = \text{☐}$
6. $11^6 \div 11^4 = \text{☐}$

অন্যরকম ধর্ম খুঁজি

1. $2^5 \div 2^5 = \frac{2^5}{2^5} = 1$ আবার $2^5 \div 2^5 = 2^{5-5} = 2^0$ ... $2^0 = 1$
2. $(-5)^6 \div (-5)^6 = 1$ ... $(-5)^6 \div (-5)^6 = (-5)^{6-6} = (-5)^0$ ... $(-5)^0 = 1$

..a (শূন্য ছাড়া) যেকোনো একটি পূর্ণসংখ্যা হলে $a^0 = 1$

নিজে করি-5.6

ফাঁকা ঘরে সংখ্যা বসাই:

1. $9^2 \div 9^2 = \text{☐}$
2. $7^3 \div \text{☐} = 1$
3. $11^0 = \text{☐}$
4. $1 = 13^{\text{☐}}$
5. $1 = (-13)^{\text{☐}}$

অধ্যায় : 5

গণিতপ্রভা --- সপ্তম শ্রেণি

এবার ঘাতের গুণফল আকারে প্রকাশিত সংখ্যার নিধান আলাদা কিন্তু একই সূচকের কী ধর্ম পাই দেখি:

$2^2 \times 3^2 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 6 \times 6 = 6^2 = (2 \times 3)^2$ $3^3 \times 5^3 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5$ $= 3 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5 \times 5$ $= 3 \times 5 \times 3 \times 5 \times 3 \times 5 = 15 \times 15 \times 15 = 15^3 = (3 \times 5)^3$

ফাঁকা পূরণ করি : (i) $7^2 \times 3^2 = 7 \times 7 \times 3 \times 3 = \text{☐}^2 = (7 \times 3)^{\text{☐}}$ (ii) $5^3 \times 9^3 = 45^{\text{☐}}$ (iii) $(-10)^4 \times 9^4 = (-90)^{\text{☐}} = (\text{☐} \times \text{☐})^4$ (iv) $\text{☐}^3 \times \text{☐}^3 = (12)^3$

... a ও b দুটি যে কোনো পূর্ণসংখ্যা এবং m যে কোনো একটি পূর্ণসংখ্যা হলে, $a^m \times b^m = (ab)^m$ হবে।

এবার ভাগের নতুন ধর্ম খুঁজি $\frac{2^2}{3^2} = \frac{2 \times 2}{3 \times 3} = (\frac{2}{3})^{\text{☐}}$ $\frac{3^3}{5^3} = \frac{3 \times 3 \times 3}{5 \times 5 \times 5} = (\frac{3}{5})^{\text{☐}}$

... a ও b যে কোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা [$b \ne 0$] এবং m যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে, $\frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m$ হবে।

নিজে করি-5.7

(i) $6^5 \div 2^5 = \text{☐}$ (ii) $\text{☐} = 7^2 \div 2^2$ (iii) $10^2 = \text{☐} \times \text{☐}$ (iv) $(-4)^2 \times 6^2 = \text{☐}^2$ (v) $(5)^0 = \text{☐}$ (vi) $(\text{☐}/\text{☐})^3 = \text{☐}$

আবার $\frac{2^6}{2^7} = 2^{6-7} = 2^{-1}$ $\frac{2^6}{2^7} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{2}$ ... $2^{-1} = \frac{1}{2}$

আবার $3^{-1} = \frac{1}{\text{☐}}$ [যাচাই করি] $\frac{1}{5^{-1}} = \text{☐}$ [যাচাই করি]

... পেলাম, a শূন্য ছাড়া যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে $a^{-1} = \frac{1}{a}$

সূচকের ধারণা

অধ্যায় : 5

এবার কোনো পূর্ণসংখ্যার সূচকের নতুন ধর্ম খুজি :

$(2^2)^2 = 2^2 \times 2^2 = 2^{2+2} = 2^4 = 2^{2 \times 2}$ আবার $(3^2)^3 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^6 = 3^{2 \times 3}$ $(4^7)^2 = \text{☐} \times \text{☐} = \text{☐} = 4^{7 \times 2}$ $(5^6)^4 = \text{☐} \times \text{☐} \times \text{☐} \times \text{☐} = 5^{24}$

... a যেকোনো পূর্ণসংখ্যা এবং m ও n দুটি যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হলে, $(a^m)^n = a^{m \times n}$ হবে।

6. $9 \times 9$-কে 3 -এর ঘাত আকারে বিস্তার করি – $9 = 3^2$ $9 \times 9 = 3^2 \times 3^2 = (3^2)^2 = 3^4$

7. $16 \times 16 \times 16$-কে 4-এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি – $16 = 4 \times 4 = 4^2$ $16 \times 16 \times 16 = 4^2 \times 4^2 \times 4^2 = \text{☐} = 4^6$

8. $16 \times 16 \times 16$- কে 2-এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি – $16 \times 16 \times 16 = 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$

9. সূচকের মেশানো অঙ্ক কীভাবে সমাধানের পথে এগোেব চেষ্টা করে দেখি- (i) $\frac{2^5 \times 2^7}{(2^5)^2} = \frac{2^{5+7}}{2^{2 \times 5}} = \frac{2^{12}}{2^{10}} = 2^{12-10} = 2^2 = 4$ (ii) $\frac{(5^2)^2 \times (5^2)^4}{5^9} = \frac{5^4 \times 5^8}{5^9} = \frac{5^{4+8}}{5^9} = \frac{5^{12}}{5^9} = 5^{12-9} = 5^3 = 125$

নিজে করি-5.8

1. $8 \times 8 \times 8$-কে 2 -এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি।

2. $25 \times 25 \times 25 \times 25$-কে 5 -এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি।

3. $36 \times 36 \times 36$-কে 6 এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি।

4. $81 \times 81$-কে 3 -এর ঘাত আকারে প্রকাশ করি।

5. মান নির্ণয় করি: (i) $\frac{2^6 \times 3^5 \times 16}{(6)^5}$ (ii) $\frac{10^3 \times 10^4}{10^{11}}$ (iii) $\frac{5^9 \times 5^6}{5^7}$ (iv) $\frac{6^4 \times 3^8}{3^{12}}$ (v) $\frac{2^5 \times 2^{55}}{5^{10}}$ (vi) $\frac{2^3 \times 3^9}{3^6 \times 6^3}$ (vii) $(\frac{a^7}{a^5}) \times a^2$ ($a \ne 0$) (viii) $\frac{3 \times 7^2 \times 2^4}{2^1 \times 11^2}$

অধ্যায় : 5

গণিতপ্রভা -- সপ্তম শ্রেণি

পৃথিবীর ভর $5970, 000, 000, 000, 000, 000, 000$ কিগ্রা. $= 597 \times 10^{22}$ কিগ্রা. শুক্রগ্রহের ভর $4870, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000$ কিগ্রা. $= 487 \times 10^{22}$ কিগ্রা. বুধগ্রহের ভর $330, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000$ কিগ্রা. $= 33 \times 10^{22}$ কিগ্রা. পৃথিবী থেকে সূর্যের দূরত্ব $= 149600000$ কিমি.

পৃথিবী থেকে সূর্যের দূরত্ব সহজে 10-এর ঘাতের মাধ্যমে লেখার চেষ্টা করি: $149600000 = 14960000 \times 10$ $= 1496000 \times 10^2$ $= 149600 \times 10^3$ $= 14960 \times 10^4$ $= 1496 \times 10^5$ $= \frac{1496}{100} \times 10^5 \times 100 = 14.96 \times 10^7$ ... পৃথিবী থেকে সূর্যের দূরত্ব $= 14.96 \times 10^7$ কিমি.।

সূর্য থেকে শুক্র গ্রহের দূরত্ব $= 108.2 \times 1000000$ কিমি. $= 1082 \times 10^5$ কিমি.। $\frac{1082}{100} \times 10^5 \times 10^2$ কিমি. $= 10.82 \times 10^7$ কিমি.।

আবার $1496 > 1082$ বা $14.96 > 10.82$ ... পৃথিবী ও সূর্যের দূরত্ব, শুক্রগ্রহ ও সূর্যের দূরত্বের চেয়ে বেশি।

এরকম বড়ো সংখ্যাকে ঘাতে প্রকাশ করলে আমরা সহজে বুঝতে পারি কোন সংখ্যাটি বড়ো এবং কোন সংখ্যাটি ছোটো।

কষে দেখি – 5

1. নীচের দূরত্বগুলি 10-এর ঘাতে প্রকাশ করে সহজে বোঝার চেষ্টা করি – সূর্যের থেকে বুধের দূরত্ব $57900000$ কিমি. সূর্যের থেকে মঙ্গল ও বৃহস্পতির দূরত্ব যথাক্রমে $227900000$ কিমি. এবং $778300000$ কিমি.
2. ফাঁকা ঘর পূরণ করি— i) পৃথিবী এবং চাঁদের দূরত্ব $384, 000, 000$ মিটার $= 384 \times 10^{\text{☐}}$ মিটার ii) শূন্যস্থানে আলোর গতিবেগ $3,00,000,000$ মিটার / সেকেন্ড $= 3 \times \text{☐}$ মিটার / সেকেন্ড
3. নীচের সংখ্যাগুলি 10-এর ঘাতে প্রকাশ করি (দশমিকের পর 1, 2 ও 3 ঘর পর্যন্ত) - i) 978 ii) 159217
4. নীচের বিস্তার থেকে সংখ্যাগুলি লিখি – i) $3 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 7 \times 10 + 2$ ii) $2 \times 10^3 + 3 \times 10 + 5$ iii) $8 \times 10^4 + 2 \times 10^3 + 3 \times 10^2 + 6$ iv) $9 \times 10^4 + 5 \times 10^3 + 6 \times 10^2 + 7 \times 10$
5. সরল করি এবং নীচের প্রত্যেকটিকে ঘাতের আকারে প্রকাশ করি- (i) $\frac{2^3 \times 3^5 \times 16}{3 \times 3^2}$ (ii) $[ (6^2)^3 \times 6^4] \div 6^7$ (iii) $\frac{3 \times 7^2 \times 11^0}{2^1 \times 7}$ (iv) $\frac{4^5 \times a^8 b^3}{4^5 \times a^5 b^2}$ ($a,b \ne 0$) (v) $(3^0 + 2^0) \times 5^0$ (vi) $\frac{2^8 \times x^7}{4^3 \times x^3}$ ($x \ne 0$)